CHAMBRE DE COMMERCE ET DWDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et Concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUES II Mercredi 9 Mai 2001, de 8h. à 12h. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. \ Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. On dispose de n jetons numérotés de 1 à n. On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un. La suite (ar , a2,. . . , a,) des numéros tirés est aussi appelée permutation de l’ensemble {1,2,. . . , n}. Étant donné deux entiers k et p vérifiant 1 < k < p < n, la suite (ak, . . . , aP) - se réduisant à (ah) dans le casoù k est égal à p - est appelée sous-suite de (ar , a2 , . . . , a,,) et son nombre d’éléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de l’univers fi, ensemble des permutations de {1,2,... ,n}, muni de la tribu de ses parties P(n) et de la probabilité uniforme P, ce qui signifie que, pour toute permutation w de {1,2,. . . ,n}, on a : P ({w}) = ‘- Si X est une variable aléatoire définie sur (i&~(fi~~P), on note E(X) son espérance et V(X) sa variante. Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur (a, p(a), P), on note Cov(X, Y) leur covariance. Préliminaire Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans {1,2,. . . ,m} où m est un entier supérieur ou égal à 2. Montrer l’égalité : E(X) = cP([X > k]). k=l Partie 1 : Première sous-suite croissante Étant donné une permutation (ar ,a2,. . . , a,) de {1,2?. . . , n}, la première sous-suite croissante est définie de la facon suivante : dans le cas a1 < a2 < . . . < a,,, la première sous-suite croissante est (ar , ~2,. . . , a,) ; dans le cas contraire, k étant lc plus petit entier de { 1,. . . ,n - 1) vérifiant a.k > u.k+r, la première sous-suite croissante est (ur , . . . , al;). Soit L la variable aléatoire définie sur (n,p(fl)?P) q ui, à toute permutation w, associe la longueur de sa première sous-suite croissante. Par exemple, si n = 9 et w = (2: 3,5,4,9,& 7,& 1): conWle 2 < 3 < 5 et 5 > 4, on a : L(w) = 3. 1) a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par L? Qlle vaut P([L = n]) ? b) Montrer que, pour tout entier k de {1,2,. . . ,7~}, on a : P([L > k]) = $. En déduire la loi de L. -. 2) Donner la valeur de E(L) sous forme d’une somme et déterminer la limite de E(L) quand 7~ tend vers l’infini. 1/3 -- 1 of 3 -- Partie 2 : Deuxième sous-suite croissante Étant donné une permutation (~1, a~, . . . , a,) de { 1,2,. . . , n} et sa première sous-suite croissante (a~,. . . , uk) ; si celle- ci se termine par a, (i.e. si k = n), on dit que la deuxième sous-suite croissante n’existe pas ; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de (uk+l , . . . , a,) est appelée deuxième sous-suite croissante de (a~, aa,. . . , a,). Soit L’ la variable aléatoire définie sur (L?, p(R), P) q ui, à toute permutation w, associe 0 s’il n’existe pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire. Par exemple, si n = 9 et w = (2,3,5,4,9,6,7,8, l), la deuxième sous-suite croissante est (4,9) et l’on a : L’(w) = 2. 1) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par L’ ? Que vaut P([L’ = O]) ? 2) On suppose, dans cette question seulement, que n est égal à 3. a) Montrer que la loi du couple (L, L’) est donnée par le tableau suivant : L L’ 1 2 3 liiEEl 0 0 0 1/6 1 1/6 1/3 0 2 1/3 0 0 b) Donner la loi de L’ et calculer son espérance. c) Calculer la covariance de L et de L’. Pouvait-on prévoir le signe de cette covariance ? 3) On suppose à nouveau que n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2. a) Dénombrer les parties de l’ensemble {1,2,. . . , n} distinctes de 0, {l}, {1,2}, . . . , {1,2,. . . , n - 1). b) En déduire P([L +L’ = n]). 2” -k c) Montrer de même que, pour tout entier k de {1,2,. . . ,n}, on a : P([L + L’ 2 k]) = 7. d) Donner la valeur de E(L + L’) sous forme d’une somme. e) En déduire E(L’) t e sa limite quand n tend vers l’infini. Partie 3 : Nombre de sous-suites croissantes Étant donné une permutation (~1, a~, . . . , a,) de {1,2,. . . ’ ,n}, SI sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas par a,, on définit la troisième sous-suite croissante à l’instar de la deuxième, etc., jusqu’à ce que l’on ait défini une sous-suite croissante se terminant par a,,. Soit T la variable aléatoire définie sur (fi, P(0), P) q ui, à toute permutation w, associe le nombre de ses sous-suites croissantes. Par exemple, si n = 9 et w = (2,3,5,4,9,6,7,8, l), comme les sous-suites croissantes sont (2,3,5), (4,9),(6,7,8) et (l), on a : T(w) = 4. 1) a) Donner la loi de T dans le cas où n vaut 2. Calculer son espérance et sa variante. b) Donner la loi de T dans le cas où n vaut 3. Calculer son espérance et sa variance. 2) On suppose désormais l’entier n supérieur ou égal à 4. a) Calculer P([T = 11)et P([T = n]). b) Comparer les événements (L + L’ = n] et [T < 21. En déduire la valeur de P([T = 21). c) Donner la loi de T dans le cas où n vaut 4. Calculer son espérance et sa variante. 3) Pour tout entier i de {1,2,. . . ,n - l}, soit Ai l’événement égal à l’ensemble des permutations (a1 ,a~, . . . ,a,) vérifiant a; > ai+l, et soit Xi la variable aléatoire qui, à toute permutation w, associe 1 si w E A; et 0 sinon. 1 a) Montrer que Xi suit la loi de Bernoulli de paramètre -. Donner son espérance et sa variante. 2 n+l b) Donner une expression de T en fonction de Xi. En déduire l’égalité : E(T) = -. 2 c) Montrer que l’on a : vi E {l,... ,n - 2}, P(Ai fl Ai+l) = f. En déduire la valeur de Cov(Xi,X;+l)* d) Montrer que, pour tout couple (;,i) d’entiers vérifiant 1 6 i < i + 2 < j < n - 1, les événements Ai et Aj sont indépendants. En déduire l’égalité : Cov(Xi,Xj) = 0. 213 -- 2 of 3 -- n+l e) Établir enfin l’égalité : V(T) = -. 12 4) On suppose maintenant que n est égal à 5. On considère 1000 variables aléatoires Tl, . . . , T~o~JJ,mutuellement 1 1000 indépendantes, de même loi que la variable T et on note S la variable aléatoire égale à - c ‘Oo i=l T;. On note & la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante : 4(d) z 0,987. Calculer une valeur approchée de la probabilité P( [2,95 < 5’ < 3,051). Partie 4 : Simulation informatique Dans le langage informatique PASCAL, la fonction random renvoie, pour un argument m de type integer vérifiant m 2 1, un nombre entier aléatoire compris entre 0 et m - 1 (cette fonction est initialisée au début du corps principal du programme par la procédure randomize). On rappelle que, dans l’exécution d’une boucle for i :=n downto 2, i prend successivement les valeurs n, n - 1,. . . ,2. Dans un programme écrit en PASCAL, figurent la déclaration type tableau = array [1..5] of integer ; et la procédure : procedure aleatoire(var A :tableau) ; var aux, i , alea : integer ; begin for i :=l to 5 do A[i] :=i ; for i :=5 downto 2 do begin alea := random(i)+i ; aux :=A[alea] ; A[alea] :=A[i] ; A[i] :=aux; end end ; 1) a) On suppose que les valeurs successives de alea sont 4,2,3 et 2. Donner les valeurs de A Cl] , A C21, A [SI , A [GI et A [SI à la fin de l’exécution de la procédure. b) Quelles valeurs successives doit prendre alea pour obtenir, à la fin de l’exécution de la procédure le tableau : A[I1=3, AC2]=5, A[31=2, A[43=4, A[51=1? c) Expliquer pourquoi la procédure ci-dessus permet de simuler l’expérience aléatoire définie au début du problème. 2) Écrire une fonction d’en-tête function T(A : tableau) :integer ; qui renvoie le nombre de sous-suites crois- santes du tableau A correspondant à une permutation de { 1,. . . ,5}. 3) On suppose que le programme contient les déclarations var A : tableau ; var k : integer ; var S : real ; et que le corps principal du programme est le suivant : begin randomize ; s :=o; for k :=i to 1000 do begin aleatoire(A) ; S :=S+T(A) ; end ; s :=S/lOOO ; writeln (S) ; end. Après exécution du programme la valeur affichée de S est 2,98. Ce résultat est-il étonnant ? 313 -- 3 of 3 --