BANQUE COMMUNE D'EPREUVES CONCOURS D'ADMISSION DE 2009 Conception : ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES OPTION ECONOMIQUE 289 MATHEMATIQUES HEC__MATE Mardi 28 avril 2009, de 8 h. à 12 h. La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre EXERCICE Toutes les matrices de cet exercice sont des éléments de l'ensemble $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On note $I$ la matrice identité de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. On rappelle qu'un élément $A$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est colinéaire à $I$ s'il existe un réel $\lambda$ tel que $A = \lambda I$. On définit les deux applications suivantes de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$, notées $d$ et $t$, par : pour tout élément $A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 2}$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $d(A) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$ et $t(A) = a_{1,1} + a_{2,2}$. 1. Soit $A$ et $B$ deux éléments de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. a) Calculer $d(2I)$. En déduire que l'application $d$ n'est pas linéaire. b) Établir la formule : $d(AB) = d(A) \times d(B)$. c) En déduire que si $A$ et $B$ sont semblables, on a : $d(A) = d(B)$. 2. a) Montrer que $t$ est une application linéaire de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$. Déterminer la dimension de son image et celle de son noyau. b) Établir que si $A$ et $B$ sont deux éléments de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, on a : $t(AB) = t(BA)$. c) En déduire que si $A$ et $B$ sont semblables, on a : $t(A) = t(B)$. 3. Soit $A$ un élément donné de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ non colinéaire à $I$. a) Établir l'existence d'un unique couple $(\alpha, \beta)$ de réels vérifiant : $A^2 = \alpha A + \beta I$. b) Exprimer $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $d(A)$ et $t(A)$. 4. Soit $A$ un élément donné de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ non colinéaire à $I$. On note $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ dont $A$ est la matrice associée dans la base canonique $(e_1, e_2)$ de $\mathbb{R}^2$. On pose : $w = e_1 + e_2$. a) Montrer que les trois vecteurs $e_1, e_2$ et $w$ ne peuvent être simultanément vecteurs propres de $u$. b) En déduire qu'il existe au moins un élément non nul $x$ de $\mathbb{R}^2$ tel que la famille $(x, u(x))$ soit une base de $\mathbb{R}^2$. c) Montrer que la matrice $M$ associée à $u$ dans la base $(x, u(x))$ est de la forme $\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}$, où $a$ et $b$ sont deux réels, indépendants de la base $(x, u(x))$, que l'on exprimera en fonction de $d(A)$ et $t(A)$. d) En déduire que la matrice $A$ est semblable à ${}^t\!A$. 5. Soit $A$ un élément donné de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{C}(A)$ l'ensemble défini par : $\mathcal{C}(A) = \{B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \, / \, AB = BA\}$. a) Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. b) Déterminer une base et la dimension de $\mathcal{C}(A)$ (on discutera selon que $A$ est ou n'est pas colinéaire à $I$). PROBLÈME Dans tout le problème, on considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et la relation : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. La partie II est indépendante de la partie I et la partie III est indépendante de la partie II. Partie I. Analyse 1. a) Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite croissante d'entiers naturels. b) La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est-elle convergente ? Dans toute la suite, $a$ et $b$ ($a > b$) désignent les deux solutions de l'équation du second degré suivante : $x^2 - x - 1 = 0$. 2. a) Montrer que : $b = 1 - a = -\dfrac{1}{a}$. Établir l'encadrement suivant : $1 < a < 2$. b) Montrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on a : $u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(a^n - b^n)$. c) En déduire un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 3. On pose, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $\beta_n = u_{n+1} - a u_n$. Exprimer, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $\beta_n$ en fonction de $n$ et $b$. 4. On rappelle que pour tout réel $x$, la partie entière de $x$ est l'entier noté $\lfloor x \rfloor$ qui vérifie : $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$. a) Établir, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, l'égalité suivante : $\lfloor au_{2n} \rfloor = u_{2n+1} - 1$. b) Exprimer, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, $\lfloor au_{2n-1} \rfloor$ en fonction de $u_{2n}$. 5. Soit $y$ un réel fixé vérifiant $|y| < 1$ et $k$ un entier fixé de $\mathbb{N}$. a) Montrer que la série $\sum_{n \geqslant 1} n^k y^n$ est absolument convergente. b) En déduire la convergence de la série $\sum_{n \geqslant 1} n^k \dfrac{u_n}{2^{n+1}}$. c) En utilisant la définition de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, calculer $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{u_n}{2^{n+1}}$. Partie II. Algèbre et algorithmique 6. Soit $A$ la matrice carrée d'ordre 4 définie par : $A = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ a) La matrice $A$ est-elle inversible ? $A$ est-elle diagonalisable ? b) Calculer $A^2$ et $A^3$. Vérifier que $A^3$ est une combinaison linéaire de $A$ et $A^2$. c) Déterminer les valeurs propres de $A$. d) Établir l'existence de deux suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telles que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on ait : $A^n = a_n A + b_n A^2$. 2/4 e) Exprimer, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$. Montrer que les suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ vérifient une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. 7. On propose la fonction Pascal suivante : Function f(n : integer) : integer ; var temp,u,v,k : integer ; Begin u := 0 ; v := 1 ; for k := 1 to n-1 do Begin temp := _____ ; v := _____ ; u := _____ end ; f := _____ end ; Compléter cette fonction aux quatre places signalées par des tirets de façon que la valeur rendue soit $u_n$. 8. Soit $n$ un entier de $\mathbb{N}^*$. On dit que $n$ admet une Z-décomposition s'il existe un entier $r$ de $\mathbb{N}^*$ tel que l'on puisse écrire : $n = u_{k_1} + u_{k_2} + \cdots + u_{k_r}$, où, pour tout $i$ de $[\![1,r]\!]$, $k_i$ est un entier supérieur ou égal à 2 et où, pour tout $i$ de $[\![1,r-1]\!]$ (avec $r \geqslant 2$), on a : $k_{i+1} - k_i \geqslant 2$. a) Montrer que les entiers 37 et 272 admettent une Z-décomposition. b) Soit $n$ un entier admettant une Z-décomposition : $n = u_{k_1} + u_{k_2} + \cdots + u_{k_r}$. Montrer, par récurrence sur $r$, que l'on a : $n < u_{k_r+1}$. En déduire l'unicité de $r$. c) Montrer que, pour tout entier $p$ supérieur ou égal à 2, tout entier $n$ qui vérifie $1 \leqslant n \leqslant u_p$ admet une unique Z-décomposition (on pourra faire un raisonnement par récurrence sur $p$). 9. On suppose que l'on a défini en Pascal une constante $p=20$ ; un type $\text{tab}$ par les instructions suivantes : const p=20 ; type tab=array[2..p] of integer On suppose également que l'on a défini une variable $u$ de type tab telle que, pour tout $k$ de $[2,p]$, la variable u[k] contient la valeur $u_k$. On se donne un entier $n$ vérifiant : $1 \leqslant n \leqslant u_p$. Rédiger la procédure d'en-tête : procedure Z (n : integer ; var Res : tab) de façon que : $$\text{Res}[k] = \begin{cases} u_{k_1} & \text{si } k = k_1 \\ u_{k_2} & \text{si } k = k_2 \\ \vdots \\ u_{k_r} & \text{si } k = k_r \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$ Expliquer et justifier l'algorithme utilisé. Partie III. Probabilités On effectue dans une urne qui contient des boules numérotées 0 ou 1 une suite illimitée de tirages avec remise d'une boule. À chaque tirage, la probabilité de tirer une boule numérotée 1 est $p$ ($0 < p < 1$) et la probabilité de tirer une boule numérotée 0 est $q$, avec $q = 1 - p$, et on suppose que les résultats des différents tirages sont indépendants. On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. On s'intéresse au nombre de tirages nécessaires pour obtenir deux boules numérotées 1 de suite, c'est-à-dire lors de deux tirages consécutifs. On définit, pour tout $i$ de $\mathbb{N}^*$, les événements $S_i$ : «le $i$-ième tirage donne une boule numérotée 1», et $B_i = S_i \cap S_{i+1}$. Si au moins un des événements $B_i$ se réalise au cours de l'expérience, on note $Y$ la valeur de l'entier $i$ correspondant au premier événement $B_i$ réalisé. Sinon, c'est-à-dire si aucun des événements $B_i$ ne se réalise, on attribue à $Y$ la valeur 0. On définit ainsi une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Par exemple, si le résultat de l'expérience est : 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ..., alors $Y$ prend la valeur 6. 3/4 10. a) Calculer, pour tout $i$ de $\mathbb{N}^*$, la probabilité $P(B_i)$. b) Déterminer $Y(\Omega)$. Calculer $P([Y = 1])$, $P([Y = 2])$ et $P([Y = 3])$. 11. Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on note $C_n$ l'événement : « lors des $n$ premiers tirages, il n'apparaît jamais deux fois de suite une boule numérotée 1». On pose : $C_0 = \Omega$. a) Calculer $P(C_0)$, $P(C_1)$ et $P(C_2)$. b) Établir, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, la relation : $P([Y = n+2]) = p^2 q P(C_n)$. 12. a) En considérant les résultats possibles des deux premiers tirages, montrer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, l'égalité : $P(C_n) = q P(C_{n-1}) + pq P(C_{n-2})$. b) Déterminer, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, une relation entre $P([Y = n+2])$, $P([Y = n+1])$ et $P([Y = n])$. 13. On suppose dans cette question que $p = q = 1/2$. a) Montrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on a : $P([Y = n]) = \dfrac{u_n}{2^{n+1}}$, où la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ a été définie dans le préambule du problème. b) Que vaut $P([Y = 0])$ ? c) On note $E(Y)$ l'espérance de $Y$. Montrer que $E(Y) = 5$. d) Calculer la variance $V(Y)$ de $Y$. 14. On revient au cas général : $0 < p < 1$ et $q = 1 - p$. a) Montrer que l'équation du second degré $x^2 - qx - pq = 0$ admet deux racines distinctes. On les note $r$ et $s$, avec $r > s$. b) Établir les inégalités suivantes : $-1 < s < 0 < r < 1$ et $r > |s|$. c) On pose : $\Delta = q^2 + 4pq$. Montrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on a : $P([Y = n]) = \dfrac{p^2}{\sqrt{\Delta}}(r^n - s^n)$. d) Calculer $P([Y = 0])$. e) Montrer que $Y$ admet des moments de tous ordres et calculer l'espérance de $Y$. 15. a) Montrer, pour tout réel $x$ vérifiant $|x| < \dfrac{1}{r}$, la convergence de la série $\sum_{n \geqslant 1} P([Y = n]) x^n$. On pose alors : $$g(x) = \sum_{n=1}^\infty P([Y = n]) x^n.$$ b) Établir, pour tout réel $x$ vérifiant $|x| < \dfrac{1}{r}$, la formule suivante : $g(x) = \dfrac{p^2 x}{1 - qx - pqx^2}$. 16. On suppose dans cette question que $p = 2/3$. a) Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $I = \left]-\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right[$. b) Montrer l'existence d'un unique réel $\alpha$ de $\left]-\dfrac{1}{2}, 0\right[$ tel que $g$ soit concave sur l'intervalle $\left]-\dfrac{3}{2}, \alpha\right[$ et convexe sur l'intervalle $\left]\alpha, \dfrac{3}{2}\right[$. c) Tracer l'allure de la courbe représentative de $g$ sur $I$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé. 4/4