Ecricome — Mathématiques — Option Scientifique (Maths Approfondies) — 2016 — Énoncé On pourra utiliser sans justification que $2 < e^1 < 3$. ## EXERCICE 1 On s'intéresse dans cet exercice à la série de terme général $u_n = (-1)^n \dfrac{\ln(n)}{n}$ pour $n \geq 1$. **1.** On note : $\forall n \geq 1,\ w_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} - \ln(n)$. (a) Rappeler les développements limités à l'ordre 2 lorsque $x$ tend vers $0$ de $\ln(1+x)$ et $\dfrac{1}{1+x}$. (b) Montrer alors que : $w_{n+1} - w_n \underset{n \to +\infty}{\sim} -\dfrac{1}{2n^2}$. (c) Montrer que la série de terme général $(w_{n+1} - w_n)$ converge, puis que la suite $(w_n)$ converge vers un réel $\gamma$, appelé **constante d'Euler**. **2.** Étudier les variations de la fonction $\varphi : t \mapsto \dfrac{\ln(t)}{t}$ sur $]0, +\infty[$. Dresser le tableau de variations de la fonction $\varphi$ en précisant les limites aux bornes de son ensemble de définition. **3.** On note pour tout entier $n \geq 1$, $\quad S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k$. (a) Montrer que les suites $(S_{2n})_{n \geq 2}$ et $(S_{2n+1})_{n \geq 2}$ sont adjacentes. (b) Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. Est-elle absolument convergente ? **4.** On note pour tout entier $n \geq 1$, $\quad v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{\ln(k)}{k} - \dfrac{[\ln(n)]^2}{2}$. (a) Justifier que pour tout entier $n \geq 3$, on a : $\quad \dfrac{\ln(n+1)}{n+1} \leq \displaystyle\int_n^{n+1} \dfrac{\ln(t)}{t}\,dt$. (b) En déduire que la suite $(v_n)_{n \geq 3}$ est décroissante et convergente. **5.** Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, $\quad S_{2n} = 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{\ln(2k)}{2k} - \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{\ln(k)}{k}$, puis que : $\quad S_{2n} = \ln(2) \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} + v_n - v_{2n} - \dfrac{[\ln(2)]^2}{2} - \ln(2)\ln(n)$. **6.** Démontrer alors que : $\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{\ln(n)}{n} = \gamma \ln(2) - \dfrac{[\ln(2)]^2}{2}$. ## EXERCICE 2 Le but de cet exercice est d'étudier pour un entier $n$ tel que $n \geq 2$ les points critiques de la fonction $f$ définie sur le domaine : $$\mathcal{D}_n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n,\ x_1 < x_2 < \cdots < x_n\}$$ par : $$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{k=1}^{n} x_k^2 - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \ln(x_j - x_i).$$ On admettra que $\mathcal{D}_n$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$. **1.** Pour tout polynôme $P$ de $\mathbb{R}_n[X]$, on note : $\quad \varphi(P) = 4X P'(X) - P''(X)$. (a) Montrer que l'application $\varphi : P \mapsto \varphi(P)$ définit un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. (b) Écrire la matrice de $\varphi$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$. (c) Vérifier que le polynôme $3X - 4X^3$ est un vecteur propre de $\varphi$ pour une valeur propre à préciser. (d) Montrer que $\varphi$ est diagonalisable et préciser la dimension de chacun de ses sous-espaces propres. **2.** On s'intéresse dans cette question (et uniquement dans cette question) au cas $n = 2$. On a donc : $$\mathcal{D}_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2,\ x < y\} \quad\text{et}\quad f : (x,y) \mapsto x^2 + y^2 - \ln(y - x).$$ (a) Justifier que $f$ admet des dérivées partielles premières et secondes sur $\mathcal{D}_2$ et les calculer. (b) Montrer que $f$ admet un unique point critique : le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$. (c) Déterminer les valeurs propres de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$. La fonction $f$ admet-elle un extremum local en $\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$ ? On revient à présent au cas général avec $n \geq 2$. **3.** On note $u = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathcal{D}_n$. On note $S$ le polynôme à coefficients réels défini par : $S(X) = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} (X - x_k)$ et pour tout $k \in [\![1, n]\!]$, on note : $Q_k(X) = \displaystyle\prod_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} (X - x_i)$. On a donc : $\forall k \in [\![1, n]\!],\ S(X) = (X - x_k) Q_k(X)$. (a) Calculer $\partial_k f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ pour tout $k \in [\![1, n]\!]$. (b) En déduire que : $u$ est un point critique de $f \iff \forall k \in [\![1, n]\!],\ 2x_k - \displaystyle\sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} \dfrac{1}{x_k - x_i} = 0$. (c) Montrer que pour tout $k \in [\![1, n]\!]$, on a : $S'(x_k) = Q_k(x_k)$ et $S''(x_k) = 2 Q_k'(x_k)$. (d) Justifier que pour tout $k \in [\![1, n]\!]$ et pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{x_i,\ 1 \leq i \leq n,\ i \neq k\}$, on a : $Q_k'(x) = Q_k(x) \displaystyle\sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} \dfrac{1}{x - x_i}$. (e) En déduire que : $u$ est un point critique de $f \iff \forall k \in [\![1, n]\!],\ S''(x_k) - 4 x_k S'(x_k) = 0$. (f) Montrer que $u$ est un point critique de $f$ si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que : $S''(X) - 4X S'(X) = \lambda S(X)$. En observant le terme dominant de $S$, montrer plus précisément que : $u$ est un point critique de $f \iff S''(X) - 4X S'(X) + 4n S(X) = 0$. **4.** (a) À l'aide des résultats des questions 1(d) et 3(f), montrer que la fonction $f$ admet au plus un seul point critique sur $\mathcal{D}_n$. (b) Dans le cas spécifique où $n = 3$, montrer, en utilisant le résultat de la question 1(c), que $f$ admet un unique point critique sur $\mathcal{D}_3$ que l'on déterminera. ## PROBLÈME ### Partie A Pour tout $(a, b) \in \mathbb{N}^2$, on note $I_{a,b}$ le réel défini par : $\quad I_{a,b} = \displaystyle\int_0^1 x^a (1 - x)^b\,dx$, et on note $f_{a,b}$ la fonction définie par : $$\forall x \in \mathbb{R},\quad f_{a,b}(x) = \begin{cases} \dfrac{(a + b + 1)!}{a! \times b!}\, x^a (1 - x)^b & \text{si } x \in [0, 1] \\[2mm] 0 & \text{si } x \notin [0, 1] \end{cases}$$ **1.** (a) Calculer $I_{a,0}$ pour tout $a \in \mathbb{N}$. (b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $\quad \forall (a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*,\ I_{a,b} = \dfrac{b}{a+1} I_{a+1, b-1}$. (c) En déduire que : $\quad \forall (a, b) \in \mathbb{N}^2,\ I_{a,b} = \dfrac{a! \times b!}{(a + b + 1)!}$. (d) Justifier que pour tout couple $(a, b) \in \mathbb{N}^2$, $f_{a,b}$ est une densité de probabilité. **2.** Dans toute la suite de cette partie, on fixe $(a, b) \in \mathbb{N}^2$ et on considère une variable aléatoire réelle $X$ admettant $f_{a,b}$ pour densité. On dit que $X$ suit la **loi beta de paramètres** $a$ et $b$. (a) Montrer que $X$ admet une espérance et que : $\quad E(X) = \dfrac{a + 1}{a + b + 2}$. (b) Montrer que $X$ admet une variance et que : $\quad V(X) = \dfrac{(a + 1)(b + 1)}{(a + b + 3)(a + b + 2)^2}$. (c) Soit $F$ la fonction définie par : $$\forall x \in \mathbb{R},\quad F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\[1mm] (a + b + 1)! \displaystyle\sum_{k=a+1}^{a+b+1} \dfrac{x^k (1 - x)^{a+b+1-k}}{k!\,(a+b+1-k)!} & \text{si } x \in [0, 1] \\[2mm] 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Montrer que $F$ est la fonction de répartition de $X$. ### Partie B Soient $a, b$ deux entiers strictement positifs. Une urne contient initialement $a$ boules rouges et $b$ boules blanches. On effectue une succession d'épreuves, chaque épreuve étant constituée des trois étapes suivantes : - on pioche une boule au hasard dans l'urne, - on replace la boule tirée dans l'urne, - on rajoute dans l'urne une boule de la même couleur que celle qui vient d'être piochée. Après $n$ épreuves, l'urne contient donc $a + b + n$ boules. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $X_n$ le nombre de boules rouges qui ont été **ajoutées** dans l'urne (par rapport à la composition initiale) à l'issue des $n$ premières épreuves. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on notera $R_n$ l'événement « on pioche une boule rouge au $n$-ième tirage ». **3.** Donner l'ensemble $X_n(\Omega)$ des valeurs prises par la variable aléatoire $X_n$ en fonction de $n$. **4.** On souhaite simuler l'expérience grâce à Scilab. (a) Compléter la fonction qui simule le tirage d'une boule dans une urne contenant $x$ boules rouges et $y$ boules blanches et qui retourne $0$ si la boule est rouge et $1$ si elle est blanche : ``` function res = tirage(x,y) r = rand() if .......... then res = 0 else res = 1 end endfunction ``` (b) Compléter la fonction qui simule $n$ tirages successifs dans une urne contenant initialement $a$ boules rouges et $b$ boules blanches et qui retourne la valeur de $X_n$ : ``` function Xn = experience(a,b,n) x = a y = b for k=1:n r = tirage(x,y) if r == 0 then x = .......... else .......... end end Xn = ........ endfunction ``` (c) Écrire une fonction Scilab d'en-tête `function loi = simulation(a,b,n,m)` qui fait appel $m$ fois à la fonction précédente pour estimer la loi de $X_n$. Le paramètre de sortie sera un vecteur contenant les approximations de $P(X_n = 0), P(X_n = 1), \ldots, P(X_n = n)$. **5.** On s'intéresse au cas où $a = b = 1$. On utilise la fonction `simulation` avec des valeurs de $n$ entre 1 et 5 et on affiche à chaque fois l'estimation de la loi de $X_n$ sous forme d'un diagramme en bâtons (les bâtons obtenus sont sensiblement de même hauteur pour chaque valeur de $n$, soit $1/(n+1)$). (a) À l'aide de ces résultats, conjecturer la loi de $X_n$. (b) Déterminer la loi de $X_1$. (c) Soient $k$ et $n$ deux entiers tels que $0 \leq k \leq n$. Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : $$P_{[X_n = k]}(X_{n+1} = k), \quad P_{[X_n = k]}(X_{n+1} = k+1), \quad P_{[X_n = k]}(X_{n+1} = \ell) \text{ avec } \ell \notin \{k, k+1\}.$$ (d) En raisonnant par récurrence sur $n$, prouver la conjecture émise en 5(a). **6.** On revient au cas général où $a$ et $b$ sont deux entiers strictement positifs. (a) Soit $k \in [\![1, n]\!]$. Calculer la probabilité : $\quad P(R_1 \cap R_2 \cap \cdots \cap R_k \cap \overline{R_{k+1}} \cap \overline{R_{k+2}} \cap \cdots \cap \overline{R_n})$. (b) Justifier alors que : $\quad \forall k \in [\![0, n]\!],\ P(X_n = k) = \dbinom{n}{k} \dfrac{(a + k - 1)!\,(b + n - k - 1)!\,(a + b - 1)!}{(a-1)!\,(b-1)!\,(a + b + n - 1)!}$. (c) En déduire que : $\quad \forall k \in [\![0, n]\!],\ P(X_n = k) = \dfrac{\dbinom{a + k - 1}{a - 1}\dbinom{b + n - k - 1}{b - 1}}{\dbinom{a + b + n - 1}{a + b - 1}}$. (d) Calculer $E(a + X_n)$, puis en déduire que : $E(X_n) = \dfrac{na}{a + b}$. ### Partie C On admettra dans cette partie que si $a, b$ et $n$ sont trois entiers strictement positifs, alors pour tout entier naturel $p \in [\![a, a + b + n - 1]\!]$, on a : $$\sum_{k=0}^{p-a} \binom{a + k - 1}{a - 1}\binom{b + n - k - 1}{b - 1} = \sum_{i=a}^{a+b-1} \binom{p}{i}\binom{a + b + n - 1 - p}{a + b - 1 - i}.$$ On reprend pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ la variable aléatoire $X_n$ étudiée dans la partie précédente, et on note $Y_n = \dfrac{X_n}{n}$. On note $F_n$ la fonction de répartition de $Y_n$. **7.** (a) Soit $x < 0$. Que vaut $F_n(x)$ ? (b) Soit $x \geq 1$. Que vaut $F_n(x)$ ? **8.** On fixe $x \in ]0, 1[$. Pour tout réel $y$, on note $\lfloor y \rfloor$ la partie entière de $y$, c'est-à-dire le plus grand entier $m$ tel que $m \leq y$. On rappelle qu'alors on a $y - 1 < \lfloor y \rfloor \leq y$. (a) Justifier que $F_n(x) = P(X_n \leq \lfloor nx \rfloor)$. (b) À l'aide de la formule sommatoire admise en début de partie C, prouver que : $$F_n(x) = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=a}^{a+b-1} \binom{\lfloor nx \rfloor + a}{i}\binom{b + n - 1 - \lfloor nx \rfloor}{a + b - 1 - i}}{\dbinom{a + b + n - 1}{a + b - 1}}.$$ (c) Pour $j \in \mathbb{N}$ fixé, déterminer un équivalent simple de $\dbinom{m}{j}$ lorsque $m$ tend vers $+\infty$. (d) Déterminer la limite de $F_n(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ (on obtiendra un résultat sous forme d'une somme qu'on ne tentera pas de calculer). **9.** Déterminer $F_n(0)$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$. **10.** Déduire de ce qui précède que la suite $(Y_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi Beta dont on explicitera les paramètres. **11.** À l'aide du résultat de la question 6(d) de la partie B, déterminer la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $E(Y_n)$ et commenter ce résultat à la lumière de la question précédente.