Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTRÉE 2002 MATIQUES 1 ère épreuve (option scientifique) Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures Les candidats ne doivenf faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calcuiatrice et de tout maiériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. PREMIER PROBLÈME On note: pour tout entier p 3 1 : 1 J pi1 1 U p=-- p P t df , et, pour tout entier n 3 1 : n a n= c 11 p = 211 f . . . + ‘11, * p=l PARTIE 1 : Étude de la suite (c,,jn>l 1. Montrer, pour tout entier p 3 1 : 1 1 O~ est croissanie et converge vers LX réel, noté y’, tel que 0 < y 6 1 . -- 1 of 4 -- PARTIE II : Expression intégrale du réel 7 . 1.a. lkablir, pour tout réel 2 : 1+x 1 et tout réel z de CO ; 11 : (1 - x)~ + 722 - 1 3 0. b. En utilisant 1.b. et 2.a.? montrer! pour tout entier n 3 1 et tout réel t tel que 0 < t 6 n : O t2 < -e-’ . n n 3-a. On note, pour tout entier n 3 1 : ln=Jin i(ewf-- (1-h)“) dt. Justifier l’existence de I,. b. Établir que In tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. 4.a. Établir, pour tout entier n 2 1 : dt = n(a, + ln(n + 1)) . b. On note: pour tout entier n 3 1 : J~=I~ i (I- (1-b)“) dt. Justifier l’existence de J,: et montrer, pour tout entier n 2 1 : J, = a, + ln(n $1). 5. On note : C’ = J l 1 - cet $Cc -t dt et V= 0 t / 1 “t- dt . a. Justifier l’existence de U et de 1,: b. Démontrer : y=/?--T/. 214 -- 2 of 4 -- 3. Soient Pr = :(X2 + X) et P2 = i .(pl j. a. Vérifier que PI est un vecteur propre de u2 et que la famille (PI, p2 ) est orthonormale. b. Déterminer une base de Ker U. C. Déterminer une base orthonormale B de E et un nombre réel a tels que la matrice associée à u 0 -a 0 relativement à cette base soit ( 1 a 0 0 : 0 0 0 DEUXIÈME PROBLÈME Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n: dont le produit scalaire est noté ( , ). L’objectif du problème est d’étudier les endomorphismes u de E tels que : vx E E: (u(x); x) = 0. Les endomorphismes vérifiant cette propriété sont appelés endomorphismes antisymétriques. Pd4RTIE 1. Étude d’un exemple Dans cette partie, E est l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2. On rappelle que (1, S. X2) est une base de E. On considère l’application 9 : E’ --+ IR définie pour tout couple (P, Q) d’éléments de E par : v(P, Q) = P(O)Q(O) + W)&(l) + P(-+Q(-1). 1. Vérifier que y~ est un produit scalaire. Dans cette première partie, on considère que E est muni de ce produit scalaire. 2. On considère l’endomorphisme u de E défini pour tout P de E par : ,(P) = ~(0) x2 - (p(i) i- p(-)) X. a. \‘érifier : VP E E, 2P’(O) - P(1) + P(-1) = 0. b. En déduire que u est un endomorphisme antisvmétrique de l’espace vectoriel euclidien E. P,IIRTIE II. Caractérisations des endomorphismes antisymétriques Soit u un endomorphisme de E. 1. Pour tout couple (x. y) de E2! développer ( U(X + y) : z + y ). En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si : V(x, y) E E’, (+):Y) = -lx: U(Y))- ‘1 3“. On suppose dans cette question que la dimension n de E est non nulle. Soient B = (e1.e3.. ..: e,) une base orthonormale de E: et ?ii = (m;,,)r~;,,<, la matrice associée à u relativement à la base 6. a. Montrer : V(i. j) E (1,. . . ,n}‘: rnz,] = (et, U(ej)). b. En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si la matrice -44 associée à u relativement a la base 23 vérifie 1M = -M. -- 3 of 4 -- P24RT.IE III. Propriétés générales des endomorphismes antisymétriques Soit u un endomorphisme antisymétrique non nul de E. On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question 11.1. 1. Soit X un nombre réel. Montrer que si X est valeur propre de U, alors X = 0. 2. Montrer que Im u et Iier u sont orthogonaux et supplémentaires dans E. En déduire que Ker u = Ker(u’). 3. Montrer que u2 est un endomorphisme symétrique de E et que toute valeur propre de U’ est négative ou nulle. 4.a. Montrer que u2 admet au moins une valeur propre non nulle. Soient z un vecteur propre de u2 associé à une valeur propre non nulle, et F le sous-espace vectoriel de E engendré par (5, U(Z)) . b. Montrer que F est un plan vectoriel stable par U. C. htfontrer que F I, le supplémentaire orthogonal de FT est stable par U. d. On munit FL du produit scalaire ( , )r défini pour tout couple (r, y) d’éléments de FL par (xc, Y)1 =(z, Y). On définit l’endomorphisme u1 de FL par : Vx E FL. ~I(X) = u(x). hlontrer que u1 est un endomorphisme antisymétrique de FL et que Im u = F e Im ~1. 5. Montrer que le rang d’un endomorphisme antisymétrique est. pair. On pourra faire une récurrence sur la dimension de E. PARTIE IV. Application Dans cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 4 et 23 = (ei, e2, es: ed) est une base orthonormale de E. Soit u l’endomorphisme de E associé, relativement à la base 6. à la matrice d* .-(Ip 1 -1 0 -1 -1 1 0 -3 . 1 5 0 1. 1. Uontrer que u est un endomorphisme antisymétrique de E. L’érifier que le vecteur fl = el + ez - es est vecteur propre de u*. 2. Soit F le sous-espace vectoriel de E en;endré par la famille (fi : à ) . Déterminer une base orthonormale de F et une base orthonormale de FI. 3. En déduire une base orthonormale Go de E et deus nombres réels a et b tels que la matrice 0 -a 0 0 associée à u relativement à GO soit \ 0 0 b OJ - FIA- - 4/4 -- 4 of 4 --