ESSEC MBA CONCOURS D’ADMISSION DE 2002 Option scientifique MATHEMATIQUES II Lundi 6 Mai 2002 de 8h à I2h La présentation, la lisibilité, 1‘orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans 1‘appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule 1‘utilisation d’une règle graduée est autorisée. Si au cours de l’épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. L’objectif du probléme est d’étudier parmi les portefeuilles boursiers de rentabilité moyenne donnée ceux qui font courir à leurs porteurs un risque minimal en un sens qui sera précisé plus loin. On identifie dans la suite tout vecteur x de l’espace vectoriel IR” (avec n 1 2) à la matrice-colonne de ses composantes xl, x2, . . . , x, dans la base canonique de IR”, soit : , \ et ‘xdésigne alors la matrice transposée de x, autrement dit la matrice-ligne égale à (x1, x2, . . . , x,). On note enfin < , . > le produit scalaire canonique de IR” défini pour tout couple (x, y) de IR” par : (Y, \ = lxy=(x,,x2 >...> xn> Y2 . =xIy,+x2y*+...+x”y,. tSSt<: HUSlNtSS SCHOOL A”tN,,t Ktl(NAIID HIRSCH K 1’ li)S 95021 CtlltiY l’ONTOISé CtDtX FRANCt TtL 33 CO,, 14 41 10 00 t,,x 3.3 ,O,I 34 43 SI Il wtn www tsstc tic tTAKLI>StMtNT D’tNStlCNtMtNT Sii!‘tRltUl~ I’RIVt KtCONNU l’AIl L’tTAT MtMHItC HLJSINtSS SCHOOL tTAHLIhStMtN’TS I’kIVtS D’ENStlCNtMENT SUI’tRItUI~ ASSOCIATION LOI 1901. ACCktDlTtS AACSH THE INTtKNATIONAL ASSOC!ATION bOlk MANAGEMENT tDUCATION AttlLltS A LA CHAMHRt Dt COMMEkCt E T D’INDUSTRIE Dt VtRSAILLtS VAL D’OISt-YVtLINtS -- 1 of 4 -- PRELIMINAIRE On rappelle que l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F de IR” est la partie F’ de R” qui est formée des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F, c’est à dire : F’ = ( x E IR” / = 0 pour tout vecteur a appartenant à F }. / a) Montrer que FL est un sous-espace vectoriel de IR”. lb) On suppose F de dimension p (0 5 p 5 n) et on considère une base orthonormale (e’, . . . , ep) de F que l’on complète en une base orthonormale (e,, . . . , ep, ep+‘, . . . , e,) de IR”. Montrer que F’ = Vect(ep+‘, .._ , e,), ensemble des combinaisons linéaires de ep+l, . . . , e,. En déduire la dimension de F’ en fonction de la dimension de F. 1 c) Déterminer de même l’orthogonal de FL. En déduire que (FL)’ = F où (FL)’ est l’orthogonal de FL. PARTIE 1 On désigne par C = (c,) une matrice symétrique réelle d’ordre n et par Q la fonction définie de IR” dans IR par Q(x) = , autrement dit par Q(x) = ‘XC~. On suppose de plus que Q(x) = ‘XC~ > 0 pour tout vecteur non nul x de IR”. l”) Exemple d’une telle matrice On suppose dans cette question, et dans cette question seulement, que n = 3 avec : / a) Calculer ‘xC,Ë pour tout vecteur x de composantes x,, x2, x3 dans la base canonique de lR3. 1 b) Montrer que ‘XC+~ > 0 pour tout vecteur non nul x de IR3 (on calculera ‘XC+ - (xl +x2 +x3)*). ,’ c) Montrer que C,, est inversible et déterminer la matrice inverse de CO. /d) Calculer ‘XC~-‘x pour tout vecteur x de composantes x,, x2, x3 dans la base canonique de lR3. , e) Montrer que ‘XC~-’ x > 0 pour tout vecteur non nul x de lR3. 2’) Inversibilité de la matrice C ,a) Vérifier, pour tout couple (x, y) de vecteurs de IR”, que ‘XC~ est un nombre réel et que : ‘xcy = ycx. L-I, b) On considère un vecteur x appartenant au noyau de C, c’est à dire tel que Cx = 0. Montrer que ‘XC~ = 0 et en déduire que la matrice C est inversible.‘f3 ’ c) Montrer C’ est une matrice symétrique réelle d’ordre n, autrement dit que ‘(C’) = C’. (On pourra transposer l’égalité CC’ = C’C = I,, où I,, désigne la matrice-identité d’ordre n). d) En posant x = Cy, montrer que ‘xC’X > 0 pour tout vecteur non nul x de R”. Etablir l’égalité suivante dans laquelle U, Y sont deux vecteurs linéairement indépendants de IR”: / va E R, ‘(u+av) CT’ (u+ilv) = ‘uc’u + 2?L (‘UC’V) + a2 (‘VC’V). Préciser le signe de ce trinôme du second degré en A et prouver l’inégalité suivante : ,’ (‘uc-‘v)2 < ( ‘uc%)(‘vC’v). 3’) Condition pour que Q(x) 5 Q(x+h) lorsque = 0 On désigne ici par x un vecteur de lR” et par u un vecteur non nul de IR”. ,’ a) Montrer, pour tout couple (x, h) de vecteurs de IR” et tout nombre réel A, que : Q(X+ah) = Q(X) + zkh, cX> f a2Q(h). , b) On suppose que Q(x) I Q(x + h) pour tout vecteur h tel que CU, h> = 0. l Etablir l’inégalité suivante pour tout vecteur h tel que CU, h> = 0 : va E R, 2a Ch, cx> + A2Q(h) 2 0. l En déduire que ch, Cx> = 0 pour tout vecteur h tel que CU, h> = 0. l En déduire que Cx est colinéaire au vecteur U, c’est à dire que x est colinéaire à C’U. 2 -- 2 of 4 -- c) Etablir inversement, si CX est colinéaire à u, que Q(X) 5 Q(x + h) si CU, h> = 0. d) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc Cx = au. l Montrer que a = a du, X> où a désigne un nombre réel dépendant de u et C-’ tel que a > 0. l Montrer que Q(X) = a()~. 4O) Condition pour que Q(x) I Q(x+h) lorsque CU, h> = = 0 On désigne ici par x un vecteur de lR” et par u et v deux vecteurs linéairement indépendants de IR”. a) On suppose que Q(X) 5 Q( x + h) pour tout vecteur h tel que CU, h> = cv, h> = 0. l Etablir comme précédemment que ch, Cx> = 0 pour tout vecteur h tel que CU, h> = cv, h> = 0. l En déduire que Cx appartient à Vect(u, v), c’est à dire que x appartient à Vect(C’u, C-Iv). b) Etablir inversement, si Cs appartient à Vect(u, v), que Q(X) 5 Q(x + h) si CU, h> = cv, h> = 0. c) La condition précédente est désormais supposée vérifiée et on note donc Cx = au + PV. l Montrer que les nombres réels a et p sont solutions du système suivant : i a fuC-‘u + p ‘UC-‘v = < 24, x > . a’vC-‘u+p’vC-‘v=. l Montrer que ce système admet une solution unique, et que celle-ci est de la forme suivante : I a = a-b /3 =-b fC où a, b, c désignent trois nombres réels dépendant de U, v et C’ tels que a > 0 et c > 0. l Montrer que Q(X) = a()~ - 2b + c (cv , x>)‘. PARTIE II 5’) Covariance des variables aléatoires X et Y On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances E(X) et E(Y) et des variantes V(X) et V(r) et on suppose P’(x) > 0 (ce qui signifie, avec une probabilité égale à 1, que la variable aléatoire X n’est pas constante). La covariance des deux variables aléatoires X et Y (que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par Cov(X, Y) = I$(X--&A’))( Y-E( Y))] ou encore E(H’) - E(X),!?(r). , a) Etablir la formule suivante pour tout nombre réel A. : qax + Y) = a2 V(x) + 2~Cov(X, r> + V(Y). b) En considérant le signe de ce trinôme du second degré en A, en déduire que : (COVK Y))” i V(x>V(r). Etablir de plus que (Cov(X, Y))2 = &I?)V(r) si et seulement s’il existe deux nombres réels A et ,U tels qu’on ait ;Lx + Y = /L avec une probabilité égale à 1. c) En déduire que le coefficient de corrélation p des variables aléatoires X, Y appartient à [-1, +l], puis préciser à quelle condition nécessaire et suffisante p est égal à -1 ou +1 . On considère pendant une période donnée un marché financier où coexistent n actifs financiers notés A,, A2, . . . , A,,. Ces actifs sont détenus positivement ou négativement (ce qui signifie alors qu’ils sont vendus à découvert)’ au sein de portefeuilles qu’on ne modifie pas dans la période. On désigne par RI, R,, . . . , R, les n variables aléatoires qui représentent les taux de rentabilité des actifs Ai, AZ, . . , A,, au cours de la période considérée (ce qui signifie qu’une unité monétaire de l’actif A, donne un gain aléatoire R, à la fin de la période). On suppose que ces n variables aléatoires R,, R2, . . . , R,, qui sont définies sur un même espace probabilisé, admettent : * des espérances E(R,) = ml, E(R,) = m2, . . , E(R,,) = m, supposées non toutes égales. * des variantes V(R,) = o,‘, V(R,) = 021, . . , V(R,) = on2 supposées strictement positives. ’ Cette situation se produit notamment dans le cadre des marchés à réglements mensuels. 3 -- 3 of 4 -- 6O) Etude des portefeuilles dans le cas n = 2 (Cette question est sans influence sur les suivantes qui peuvent être abordées indépendamment). On considère ici un portefeuille contenant les actifs A, et A2 en proportions respectives x et l-x. La variable aléatoire R indiquant le taux de rentabilité du portefeuille est alors R = xR, + ( 1-x)R2. On note p le coefficient de corrélation des variables aléatoires R,, RZ, supposé tel que -1 < p < 1. a) Exprimer l’espérance E(R) et la variante V(R) en fonction de X, m,, m2, o,, 0, et p. b) Etablir, si ml # m2, qu’il existe des nombres réels a, b, c avec a > 0 et c > 0, indépendants de x (c’est à dire indépendants de la composition du portefeuille) tels qu’on ait V= a - 2bm + cm2 où V= V(R) et m = E(R) désignent respectivement la variante et l’espérance de R. 7O) Matrice de yariances-covariances des variables aléatoires R,,, . . . , R, On désigne par C la matrice symétrique réelle dont le coefficient de la ileme ligne etjième colonne (où 1 5 i, j 5 n) est la covariance CO~(R,, R,) des variables aléatoires R, et R,. a) Etablir, pour tout vecteur .Y de R” de composantes xl, x2, . . . , x, dans la base canonique : V&x,&)= ‘xcx. GI b) En déduire qu’on a ‘XC~ L 0 pour tout vecteur x de IR” et donner une condition nécessaire et suffisante portant sur R,, R2, . . . , R, pour que ‘XC~ > 0 pour tout vecteur non nul x de lR’. On supposera désormais cette condition bien vérljiée par RI, R2, . . . , R, et on posera Q(x) = ‘XC~. 8O) Etude des portefeuilles efficaces dans le cas général On étudie ici un portefeuille contenant les actifs A,, A2, . . . , A, en proportion xl, x2, . . . ,. x,. La variable aléatoire R indiquant le taux de rentabilité de ce portefeuille au cours de la penode considérée est alors R = x,RI + xzRz + . . . + x,R,. Ce portefeuille est dit efficace s’il est de variante minimale parmi tous les portefeuilles dont l’espérance de gain E(R) = m est donnée (en effet, la variante constitue ici un risque pour le gain de l’investisseur qu’il importe donc de minimiser). a) Montrer que le vecteur x de lR” de composantes xl, x2, . . . , x, considéré ci-dessus vérifie : x1 +x2 + . . . +x,=1 et mlxI+m2x2+...+ mgn=m. b) Montrer que le portefeuille considéré ici est efficace si et seulement si on a Q(x) 5 Q(x + h) pour tout vecteur h de IR” de composantes h,, hz, . . . , h, telles que : h,+h,+... + h,=O et mlhl+m2h2+...+ m,h,=O. c) Etablir à l’aide de 1.4 qu’il existe des nombres réels a, b, c avec a > 0 et c > 0 tels que : V=a-2bm+cm2 où V = V(R) et m = E(R) désignent respectivement la variante et l’espérance de R. d) Déterminer la nature de la courbe représentative de cette fonction associant la variante V à l’espérance m et représenter celle-ci (on rappelle que a > 0 et c > 0, et on supposera b > 0). Expliquer pourquoi seuls les portefeuilles dont l’espérance m et la variante V appartiennent à la portion de cette courbe telle que m 2 bic sont intéressants pour les investisseurs (et c’est cette portion de ia courbe qui est la “frontière efficace” de Markowitz, du nom de l’économiste qui a reçu le prix Nobel en 1990). *** 4 -- 4 of 4 --