CHAblBRE DE COMMERCE ET D’INDCSTRIE DE P.GIS DIRECTIO!‘h DE L~EhSEIGNEblENT Duectmn des .Adrnrss~ons zt Concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIkiLES E.S.C.P. - Ee4.P. ECOLE SUPERIECRE DE COMMERCE DE LYON COtGCOtiRS D’ADMISSIOIG SUR CLASSES PREPARATOIRES OPTION SCIENTIFIQCE MATHEX~TIQUES II Lundi 13 Mai 2002. de 8 h. à 12 h. Les variables aléatoires qui intervienneIlt dans ce problème sont toutes définies sur un même espace probabilisé (n, G, P) et, h valeurs réelles. L’espérance d’une variable aléatoire ,Y est notée E(X). On admet les résultats suivants : i) si S et Y sont deux variables albatoires possédant une espéranceet vérifiant I’inégalitb S < Y’ (c’est-à-dire vkifiant S(U) < Y(&!) pour tout élément 2 de (2) alors on a I’inGgnlité : E(S) < E(Y). ii) Éta(it dol~lé une fortction f contilllue sur 10,+x[ et une variable aléatoire Y possédant LUE densité p corltin~~e 5111’ [O. +x[ et nulle suï ] - x, O[, si I’intégïale J“-rjiL! Au) d PL converge absolument alors la variable aléatoire f(Y) possèdeune espérance vérifiant E(f(k’j) = ltmf(uj p(u) d,LL. Partie 1 Définition de l’application L On note E l’ensemble des fonctions / réelles d&finies. continues sur (0. +#XI et telles que, pour tout réel 2 strictement positif, l’intégrale JTcçeë”“,f(t) dt converge absolument. 0 lj a) Vérilier que E est un espacevectoriel rkl. 1,) Vérifier que E cuntieiit les fuiictioiis continues et bornées sur [O.+x[. 2) Pour tuut élément f de E un nute ,5(f) la functioil définie, pour tout réel .c strictement positif, par : L(j)(x) = -meëztf(t) dt J 0 a) Vérifier que L est une application linéaire de E dans l’espace vectoriel des fonctions de 10,+cc[ dans W. b) Pour tout réel X positif OLI nul, on note ;,!, la fonction réelle définie par EX(~) = eëxt pour tout réel t positif ou nul. Vérifier que, pour tout rbel ,\ positif ou nul, la fonction EA est dans E et, pour tout réel z st,rictement positif, caiculei L(c,j)(.c) c) IVlolltrer que. pour toiut réei X positif ou nrtl et toute fonctiori f de E. la fonction z 1) = 0 TL - -,x 3) On note M un majorant de if 1 sur [O.+cx;[. a) Soit E un réel strictement positif. Pour tout entier naturel 71, on note A, l’événement : An=[If(?) -f(x)/ . A,, , . Sll Sp. S,, , sont indkpcndantes : ii) les variables aléatoires SI. Sz.. : S,, . suivent toutes la loi exponeritiellr de parambtre LL (d’espérance égale 8 i) ; L’ iii) Ics variables altatoires AI. 42, ~A,, SOIIL strictement pmit.ives et ont toutes la même densit6 égale sur 10.+XX?~à la densité d‘u~le \fariatbie alCat,oireexpnnentielle de paramètre X (d’rsphnce égale à ;>; iv) l‘espérance c’olnmllle des 4, est supérieure à celle des S, c’est-à-dire : ~1,> A. Pour tout entier naturel n 1101.1 nul, on note F,, la fonction de répartition de UT, et G,, relie de IV7,. On admet que F7, et G,, sont coiitiiiues sur 10.+zm[. Dans les trois prenlières questions de cette partie on considère un entier n au moins égal à 2. WI réel 2 positif ou nul et un réel h strictement positif. 1) Justifier les égalités : r.‘,, = 0 si I4;,+i - A,, < 0 et r’,, = II,-, - A,? sinon. 2) J ustifirr l’indépendance des variables aléatoires MTn-1 et A, 3) a) Pour ti)ut entier nat.urei k. justifier I’inégalit~ : puis l‘iiiégalité : b) Pour tout entier uat,urel k non nul. justifier l’inégalité : -- 3 of 4 -- c) En déduire l’encadrement : .5) *OC -Ah J --cc e Xe- ‘“G 1(x + s) ds < Ftl(z) < eXh 71-I. J Xeëx”G,,-I(z + s) ds 0 h Soit z un rkl positif ou nul. En utilisant l’encadrement précédent. établir l’Égalité : c,(~) =J fm Xe-X”G,,-l (r + Y) ch 0 En raiso~maut de la ~nêmefa A) on ‘2 l’kgaliié : L(F)(r) = 2 - -&L(G)(r) 7) Montrer que la fonction G est de classe C’ . croissante et borke sur [O.-1.x[. Pour tout réel .7:strictement positif. établir successivement les égalitts : 8) a) Pour tout réel bj Pour tout réel G’(r) = -pG(z-) + pLF(x) et L(G)(z) = &L(F)(4 vérifiant z > A. justifier l’égaiité : positif ou nul, en déduire l’égalité : c) Justifier que la fonction F admet la limite 1 en +x et en dbduire. pour tout réel .T positif ou nul, 1’Pgalité: F(:cj = 1 - X e-tP-X)z P 9) a) Montrer qrie. eii ri-gime pwmalwnt. le tenips passédans la poste suit une loi exponentielle de paramirtre égal i 11- X. 1~)Oli suppcw qu’uni autre jour les arri\,ées des clients soiit en ~noyem~édeux fois plus fri-queiites et la durée de service deux fois plus rapide. Qur rle\~ie~me~~t.en régime pernla1wl~t. le temps moyen passé dans la poste par UII clieilt, rt la protJat)ilité d’he servi tout de suite ? -- 4 of 4 --