M041/2022-02-08 10:03:22 Page 1/4 Mathématiques 2 MP 4 heures Calculatrice autorisée 2022 Objectifs Ce problème étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions ∑ 𝑓𝑛 de deux façons différentes : un point de vue déterministe et un point de vue probabiliste. Pour conclure à une formule du type ( +∞ ∑ 𝑛=0 𝑓𝑛 ) (𝐾) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑓 (𝐾) 𝑛 avec 𝐾 entier supérieur ou égal à 2, les théorèmes usuels contiennent généralement au moins une hypothèse sur les dérivées intermédiaires 𝑓 ′ 𝑛 , ..., 𝑓 (𝐾−1) 𝑛 (par exemple de convergence simple sur tout l’intervalle ou même en un seul point). Le sujet montre que l’on peut affaiblir l’hypothèse de contrôle des dérivées intermédiaires par une hypothèse de convergence de séries numériques de la forme ∑ 𝑓𝑛 (𝑥) où 𝑥 parcourt un ensemble fini. Cette dernière hypothèse sera de nouveau affaiblie dans la partie probabiliste consacrée à la dérivation de séries aléatoires de fonctions. Le sujet est divisé en quatre parties : — la partie I étudie une inégalité, qualifiée d’inégalité d’interpolation, qui permet de contrôler les dérivées intermédiaires d’une fonction de classe 𝒞𝐾 ; — la partie II utilise la partie I pour démontrer un résultat de transfert du caractère 𝒞𝐾 à une somme de série de fonctions ; — la partie III, qui est indépendante des parties I et II, étudie la convergence des séries aléatoires numériques de la forme ∑ 𝑋𝑛 𝑎𝑛, où (𝑋𝑛 ) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de Rademacher et (𝑎𝑛 ) une suite réelle telle que la série ∑ 𝑎2 𝑛 converge ; — la partie IV utilise les résultats des parties précédentes pour donner une application au caractère 𝒞𝐾 de la somme d’une série aléatoire de fonctions de la forme ∑ 𝑋𝑛 𝑓𝑛. Notations — Pour tous entiers 𝑖 et 𝑗 vérifiant 𝑖 ⩽ 𝑗, la notation ⟦𝑖, 𝑗⟧ désigne l’intervalle d’entiers [𝑖, 𝑗] ∩ ℕ. — La lettre 𝐾 désigne systématiquement un entier naturel non nul. — Le symbole ℝ𝐾−1 [𝑋] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 𝐾 − 1 à coefficients réels. — Pour tout intervalle 𝐼, on note 𝒞𝐾 (𝐼) le ℝ-espace vectoriel des fonctions 𝑓 : 𝐼 → ℝ de classe 𝒞𝐾 . Pour tous 𝑓 ∈ 𝒞𝐾 (𝐼) et 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, on note 𝑓 (𝑘) la dérivée d’ordre 𝑘 (et donc 𝑓 (0) = 𝑓, 𝑓 (1) = 𝑓 ′, 𝑓 (2) = 𝑓 ′′). — Dans le cas particulier 𝐼 = [0, 1], pour toute fonction bornée 𝑓 : [0, 1] → ℝ, on note ‖𝑓‖∞ = sup 𝑥∈[0,1] |𝑓(𝑥)|. I Inégalités d’interpolation des dérivées Soit 𝐾 réels distincts 𝑥1 < ... < 𝑥𝐾 de l’intervalle [0, 1]. Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant : il existe une constante 𝐶 > 0 (dépendant des réels 𝑥1 , ..., 𝑥𝐾 ) telle que ∀𝑓 ∈ 𝒞𝐾 ([0, 1]), max 0⩽𝑘⩽𝐾−1 ∥𝑓 (𝑘) ∥ ∞ ⩽ ∥𝑓 (𝐾) ∥ ∞ + 𝐶 𝐾 ∑ ℓ=1 |𝑓(𝑥ℓ )| . (I.1) Une inégalité du type précédent est appelée inégalité d’interpolation à l’ordre 𝐾. I.A – Cas particulier 𝐾 = 1 On fixe 𝑥1 ∈ [0, 1] et on étudie une inégalité d’interpolation à l’ordre 1, ∀𝑓 ∈ 𝒞1 ([0, 1]), ‖𝑓‖∞ ⩽ ‖𝑓 ′ ‖∞ + 𝐶 |𝑓(𝑥1 )| . (I.2) Q 1. Montrer l’inégalité d’interpolation (I.2) avec 𝐶 = 1. Q 2. Soit 𝐶 ∈ ]0, 1[. À l’aide d’un exemple simple de fonction 𝑓, montrer que l’inégalité d’interpolation (I.2) est fausse. I.B – Cas particulier 𝐾 = 2 On fixe deux réels distincts 𝑥1 < 𝑥2 de [0, 1]. On veut construire une constante 𝐶 > 0 telle qu’on ait l’inégalité d’interpolation à l’ordre 2, ∀𝑓 ∈ 𝒞2 ([0, 1]), max(‖𝑓‖∞ , ‖𝑓 ′ ‖∞ ) ⩽ ‖𝑓 ′′ ‖∞ + 𝐶(|𝑓(𝑥1 )| + |𝑓(𝑥2 )|). (I.3) -- 1 of 4 -- M041/2022-02-08 10:03:22 Page 2/4 Q 3. Pour tous 𝑥 ∈ [0, 1] et 𝑓 ∈ 𝒞2 ([0, 1]), démontrer l’inégalité ∣𝑓 ′ (𝑥) − 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 ∣ ⩽ ‖𝑓 ′′ ‖∞ . Q 4. En déduire que, pour toute fonction 𝑓 ∈ 𝒞2 ([0, 1]), on a ‖𝑓 ′ ‖∞ ⩽ ‖𝑓 ′′ ‖∞ + |𝑓(𝑥1 )| + |𝑓(𝑥2 )| 𝑥2 − 𝑥1 . Q 5. Conclure le cas 𝐾 = 2 en montrant l’inégalité d’interpolation (I.3) avec 𝐶 = 1 + 1 𝑥2 − 𝑥1 . I.C – Cas général par interpolation de Lagrange On revient à l’étude du cas général d’inégalité d’interpolation à l’ordre 𝐾, donnée par (I.1). On fixe 𝐾 ∈ ℕ⋆ . Q 6. Démontrer que l’application Ψ : ∣ ℝ𝐾−1 [𝑋] → ℝ𝐾 𝑃 ↦ (𝑃 (𝑥1 ), ..., 𝑃 (𝑥𝐾 )) est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Q 7. Montrer qu’il existe 𝐾 polynômes 𝐿1 , ..., 𝐿𝐾 de ℝ𝐾−1 [𝑋] tels que, pour toute fonction 𝑓 ∈ 𝒞𝐾 ([0, 1]), le polynôme 𝑃 = 𝐾 ∑ 𝑗=1 𝑓(𝑥𝑗 )𝐿𝑗 vérifie ∀ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧, 𝑃 (𝑥ℓ ) = 𝑓(𝑥ℓ ). Dans les deux questions suivantes Q8 et Q9, on fixe 𝑓 ∈ 𝒞𝐾 ([0, 1]) et on note 𝑃 le polynôme déterminé dans la question Q7. Q 8. Pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾 − 1⟧, montrer qu’il existe au moins 𝐾 − 𝑘 réels distincts de [0, 1] en lesquels la fonction 𝑓 (𝑘) − 𝑃 (𝑘) s’annule. Q 9. En déduire l’inégalité ∥𝑓 (𝑘) − 𝑃 (𝑘) ∥ ∞ ⩽ ∥𝑓 (𝑘+1) − 𝑃 (𝑘+1) ∥ ∞ pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾 − 1⟧. Q 10. Montrer qu’il existe une constante 𝐶 > 0 pour laquelle l’inégalité d’interpolation (I.1) est vérifiée. II Dérivation 𝒞 𝐾 pour les séries de fonctions II.A – Énoncé général On se propose maintenant de démontrer le résultat annoncé dans le préambule. Soit 𝐾 ∈ ℕ⋆ , on considère — des réels distincts 𝑥1 < ... < 𝑥𝐾 d’un intervalle [𝑎, 𝑏] (avec 𝑎 < 𝑏) ; — une suite de fonctions (𝑓𝑛 ) de classe 𝒞𝐾 sur [𝑎, 𝑏] à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses (H1) la série de fonctions ∑ 𝑓 (𝐾) 𝑛 converge normalement sur [𝑎, 𝑏] ; (H2) pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧ la série numérique ∑ 𝑓𝑛 (𝑥ℓ ) est absolument convergente. Q 11. Dans le cas particulier [𝑎, 𝑏] = [0, 1], justifier que la série ∑ 𝑓 (𝑘) 𝑛 converge normalement sur [𝑎, 𝑏] pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾 − 1⟧. Q 12. Traiter la question précédente dans le cas général d’un segment [𝑎, 𝑏] avec 𝑎 < 𝑏. On pourra examiner 𝑓𝑛 ∘ 𝜎 où 𝜎 : [0, 1] → [𝑎, 𝑏] est définie par 𝜎(𝑡) = (1 − 𝑡)𝑎 + 𝑡𝑏 pour tout 𝑡 ∈ [0, 1]. D’après le résultat de la question précédente, on peut poser 𝐹𝑘 (𝑥) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑓 (𝑘) 𝑛 (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Q 13. Démontrer que 𝐹0 est de classe 𝒞𝐾 sur [𝑎, 𝑏] et que 𝐹 (𝑘) 0 = 𝐹𝑘 pour tout 𝑘 ∈ ⟦1, 𝐾⟧. II.B – Application sur un exemple Dans cette sous-partie, on considère un exemple où les dérivées intermédiaires ne s’expriment pas avec les fonctions usuelles. Q 14. Pour tout 𝑛 ∈ ℕ⋆ , justifier qu’il existe une unique fonction 𝑓𝑛 ∈ 𝒞2 (]0, +∞[) vérifiant 𝑓𝑛 (1) = 0, 𝑓𝑛 (2) = 0 et 𝑓 ′′ 𝑛 (𝑥) = (−1)𝑛 2−𝑛𝑥 2 pour tout 𝑥 > 0. Q 15. Montrer que la série de fonctions ∑ 𝑓𝑛 (𝑥) converge normalement sur tout segment inclus dans ]0, +∞[ et que la fonction 𝐹 : 𝑥 ↦ +∞ ∑ 𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥) est de classe 𝒞2 sur ]0, +∞[. Q 16. Expliciter 𝐹 ′′ (𝑥). Q 17. Montrer que |𝐹 (𝑥)| ⩽ 1 3 pour tout 𝑥 ∈ [1, 2]. -- 2 of 4 -- M041/2022-02-08 10:03:22 Page 3/4 III Convergence d’une série aléatoire de Rademacher Le but de cette partie est de montrer que, si la série ∑ 𝑎2 𝑛 converge, alors la série aléatoire ∑ 𝑋𝑛 𝑎𝑛 converge avec probabilité 1. Notations — (𝑋𝑛 )𝑛∈ℕ désigne une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes d’un espace probabilisé (Ω, 𝒜, ℙ) vérifiant ∀𝑛 ∈ ℕ, ℙ(𝑋𝑛 = −1) = ℙ(𝑋𝑛 = 1) = 1 2 ; — (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ est une suite réelle telle que la série ∑ 𝑎2 𝑛 converge ; — pour tout 𝑁 ∈ ℕ, on note 𝑆𝑁 = 𝑁 ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 𝑎𝑛 la somme partielle au rang 𝑁 de la série ∑ 𝑋𝑛 𝑎𝑛 ; — si (𝜙(𝑗)) 𝑗∈ℕ est une suite strictement croissante d’entiers naturels, pour tout entier 𝑗 ∈ ℕ et tout entier 𝑚 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, on note les évènements 𝐴𝑗 = {∣𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ > 2−𝑗 } , 𝐵𝑗 = { max 𝜙(𝑗)+1⩽𝑛⩽𝜙(𝑗+1) ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ > 2−𝑗 }, 𝐵𝑗,𝑚 = {∣𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ > 2−𝑗 et ∀𝑛 ∈ ⟦𝜙(𝑗), 𝑚 − 1⟧, ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ ⩽ 2−𝑗 } . La réalisation de l’évènement 𝐵𝑗,𝑚 signifie que 𝑚 est le plus petit entier de l’intervalle ⟦𝜙(𝑗), 𝜙(𝑗 + 1)⟧ vérifiant ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ > 2−𝑗. III.A – Construction de la suite (𝜙(𝑗)) 𝑗∈ℕ et majoration de ℙ(𝐴𝑗 ) Q 18. Justifier l’existence d’une suite strictement croissante d’entiers naturels (𝜙(𝑗)) 𝑗∈ℕ vérifiant ∀𝑗 ∈ ℕ, +∞ ∑ 𝑛>𝜙(𝑗) 𝑎2 𝑛 ⩽ 1 8𝑗 . On fixe désormais une telle suite (𝜙(𝑗)) 𝑗∈ℕ. Q 19. Exprimer l’espérance et la variance de 𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝑆𝜙(𝑗) en fonction des termes de la suite (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ. Q 20. Déduire des deux questions précédentes la majoration ℙ(𝐴𝑗 ) ⩽ 2−𝑗. III.B – Inégalité maximale de Lévy ℙ(𝐵𝑗 ) ⩽ 2ℙ(𝐴𝑗 ) Q 21. Pour tout 𝑗 ∈ ℕ, démontrer que les évènements 𝐵𝑗,𝑚, pour 𝑚 parcourant ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, sont disjoints deux à deux et qu’on a l’égalité d’évènements 𝐵𝑗 = ⋃ 𝜙(𝑗)<𝑚⩽𝜙(𝑗+1) 𝐵𝑗,𝑚 . Q 22. Expliquer comment en déduire la formule ℙ(𝐴𝑗 ) = 𝜙(𝑗+1) ∑ 𝑚=𝜙(𝑗)+1 ℙ(𝐴𝑗 ∩ 𝐵𝑗,𝑚 ). Q 23. Soit 𝑚 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, montrer que la fonction ∣ ℝ → ℝ 𝛼 ↦ 2𝜙(𝑗+1)−𝜙(𝑗) ℙ ({∣𝛼𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝛼𝑆𝑚 + 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ > 2−𝑗 } ∩ 𝐵𝑗,𝑚 ) est à valeurs dans ℕ et est paire. Q 24. Prouver que si l’évènement 𝐵𝑗 se réalise, alors il existe 𝑚 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧ et 𝛼 ∈ {−1, +1} tels que l’évènement {∣𝛼𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝛼𝑆𝑚 + 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ > 2−𝑗 } ∩ 𝐵𝑗,𝑚 se réalise également. On pourra exprimer 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) en fonction des deux nombres 𝛼𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝛼𝑆𝑚 + 𝑆𝑚 − 𝑆𝜙(𝑗) avec 𝛼 = ±1. Q 25. En déduire que ℙ(𝐵𝑗 ) ⩽ 2ℙ(𝐴𝑗 ) -- 3 of 4 -- M041/2022-02-08 10:03:22 Page 4/4 III.C – Convergence de la série aléatoire ∑ 𝑋𝑛 𝑎𝑛 Q 26. On note 𝐵 l’évènement ⋂ 𝐽∈ℕ ⋃ 𝑗⩾𝐽 𝐵𝑗. Montrer l’égalité ℙ(𝐵) = 0. Q 27. Montrer que l’évènement {∃𝐽 ∈ ℕ, ∀𝑗 ⩾ 𝐽 , ∀𝑛 ∈ ⟦𝜙(𝑗) + 1, 𝜙(𝑗 + 1)⟧, ∣𝑆𝑛 − 𝑆𝜙(𝑗) ∣ ⩽ 2−𝑗 } se réalise avec probabilité 1. Q 28. En déduire que l’évènement {la suite (𝑆𝜙(𝑗) ) 𝑗∈ℕ est convergente} a également une probabilité 1. On pourra examiner la série ∑ ∣𝑆𝜙(𝑗+1) − 𝑆𝜙(𝑗) ∣. Q 29. Conclure que l’évènement {la série ∑ 𝑋𝑛 𝑎𝑛 est convergente} a une probabilité 1. IV Dérivation 𝒞 𝐾 pour des séries aléatoires de fonctions On fixe 𝐾 ∈ ℕ⋆ et on considère — une suite de variables aléatoires (𝑋𝑛 )𝑛∈ℕ vérifiant les hypothèses de la partie précédente ; — des réels distincts 𝑥1 < ... < 𝑥𝐾 de [0, 1] ; — une suite de fonctions (𝑓𝑛 ) de classe 𝒞𝐾 sur [0, 1] à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses (H1) la série de fonctions ∑ 𝑓 (𝐾) 𝑛 converge normalement sur [0, 1] ; (H2’) pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧, la série numérique ∑ 𝑓𝑛 (𝑥ℓ )2 est convergente. Q 30. Montrer que l’une des deux hypothèses (H2’) ou (H2) (étudiée dans la partie II) implique l’autre. Q 31. Montrer que l’évènement {pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧, la série ∑ 𝑋𝑛 𝑓𝑛 (𝑥ℓ ) est convergente} a une probabilité 1. Q 32. On note 𝑃𝑛 ∈ ℝ𝐾−1 [𝑋] un polynôme vérifiant 𝑃𝑛 (𝑥ℓ ) = 𝑓 𝑛 (𝑥ℓ ) pour tout ℓ ∈ ⟦1, 𝐾⟧ (cf. question 7), montrer que l’évènement ⎧ { { { ⎨ { { { ⎩ pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, la série de fonctions ∑ 𝑋𝑛 (𝑓𝑛 − 𝑃𝑛 )(𝑘) est uniformément convergente sur [0, 1], la fonction +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 (𝑓𝑛 − 𝑃𝑛 ) est de classe 𝒞𝐾 , pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, ( +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 (𝑓𝑛 − 𝑃𝑛 )) (𝑘) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 (𝑓𝑛 − 𝑃𝑛 )(𝑘) ⎫ } } } ⎬ } } } ⎭ a une probabilité 1. Q 33. Montrer que l’évènement ⎧ { { { ⎨ { { { ⎩ pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, la série de fonctions ∑ 𝑋𝑛 𝑓 (𝑘) 𝑛 est uniformément convergente sur [0, 1], la fonction +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 𝑓𝑛 est de classe 𝒞𝐾 , pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝐾⟧, ( +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 𝑓𝑛 ) (𝑘) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝑋𝑛 𝑓 (𝑘) 𝑛 ⎫ } } } ⎬ } } } ⎭ a une probabilité 1. Q 34. Donner un exemple d’entier 𝐾 ∈ ℕ⋆ pour lequel l’évènement précédent se réalise avec les fonctions 𝑓𝑛 définies par { 𝑓0 = 0, 𝑓𝑛 (𝑥) = ln (1 + sin ( 𝑥 𝑛 )) ∀𝑛 ∈ ℕ⋆ , ∀𝑥 ∈ [0, 1]. • • • FIN • • • -- 4 of 4 --