1 Le sujet comprend 9 pages, numérotées de 1 à 9 * * * Début du sujet Définitions et notations • Si A est un ensemble fini, on note Card A son cardinal. • Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\Delta_n = \{1, \ldots, n\}$. Si A est une partie de $\mathbb{R}$ de cardinal n, on note $\beta_A$ l'unique bijection croissante de A sur $\Delta_n$. • On note $\Sigma_n$ le groupe des bijections de $\Delta_n$ sur $\Delta_n$. Si $n \geq 2$, on note $MD(n)$ l'ensemble des éléments $\sigma \in \Sigma_n$ qui vérifient la condition (de montée-descente) : pour $1 \leq k \leq n-1$ : $\sigma(k) < \sigma(k+1)$ si k est impair, $\sigma(k) > \sigma(k+1)$ si k est pair ; et on note $DM(n)$ l'ensemble des éléments $\sigma \in \Sigma_n$ qui vérifient la condition (de descente-montée) : pour $1 \leq k \leq n-1$ : $\sigma(k) > \sigma(k+1)$ si k est impair, $\sigma(k) < \sigma(k+1)$ si k est pair. • Soit f une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Un maximum (resp. minimum) relatif de f est un réel x tel qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que $f(y) \leq f(x)$ (resp. $f(y) \geq f(x)$) pour tout $y \in ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[$. Un maximum (resp. minimum) relatif strict de f est un réel x tel qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que $f(y) < f(x)$ (resp. $f(y) > f(x)$) pour tout $y \in ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[ \setminus \{x\}$. Un extremum relatif est un point de $\mathbb{R}$ qui est soit un maximum relatif, soit un minimum relatif. Un extremum relatif strict est un point de $\mathbb{R}$ qui est soit un maximum relatif strict, soit un minimum relatif strict. • La droite réelle sera toujours munie de la norme associée à la valeur absolue. • Une fonction f de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est dite simple si elle est continue, si l'ensemble $E(f)$ des extremums relatifs de f est fini et si la restriction de f à $E(f)$ est injective. • On note S l'ensemble des fonctions simples de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et, pour $n \in \mathbb{N}$, on note $S_n$ l'ensemble des fonctions $f \in S$ telles que Card $E(f) = n$. On note enfin $S_* = \bigcup_{n \geq 2} S_n$. • Les composantes connexes par arcs d'une partie d'un espace normé seront simplement appelées les composantes de cette partie. • On note $\mathbb{R}[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels. Si $P = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in \mathbb{R}[X]$ et si $\mathscr{A}$ est une algèbre sur $\mathbb{R}$, pour $x \in \mathscr{A}$ on pose $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$. Les parties II, III, IV, V sont indépendantes. 2 Partie I 1. a. Vérifier que les extremums relatifs des fonctions de S sont stricts. b. Soit $f \in S$. Montrer que la restriction de f à l'adhérence de chaque composante de $\mathbb{R} \setminus E(f)$ est strictement monotone. En déduire que si $x \in E(f) \setminus \{\text{Max } E(f)\}$ est un maximum (resp. minimum) relatif, le plus petit élément y de $E(f)$ vérifiant $y > x$ est un minimum (resp. maximum) relatif. c. Soit $f \in S_n$ avec $n \geq 2$. On pose $\mathcal{E}(f) = f(E(f))$. Soit $\sigma_f$ l'élément de $\Sigma_n$ défini par $$\sigma_f = \beta_{\mathcal{E}(f)} \circ f \circ \beta_{E(f)}^{-1}.$$ Montrer que $\sigma_f \in MD(n) \cup DM(n)$. 2. On définit une relation $\sim$ sur S de la manière suivante : pour tout couple $(f, g)$ de $S^2$, $f \sim g$ si et seulement si il existe deux bijections continues $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ et $\psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, strictement croissantes, qui vérifient $f = \psi \circ g \circ \varphi$. a. Vérifier que $\sim$ est une relation d'équivalence sur S et montrer que chaque classe d'équivalence de $\sim$ est contenue dans l'un des ensembles $S_n$, $n \in \mathbb{N}$. b. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $\{u_1, \ldots, u_n\}$, $\{v_1, \ldots, v_n\}$ des parties de $\mathbb{R}$ qui vérifient $u_1 < \cdots < u_n$ et $v_1 < \cdots < v_n$. Vérifier qu'il existe une bijection continue $\chi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ strictement croissante telle que $\chi(u_k) = v_k$ pour $1 \leq k \leq n$. c. On suppose que f et g sont dans $S_*$ et que $$\lim_{x \to \pm \infty} |f(x)| = +\infty, \quad \lim_{x \to \pm \infty} |g(x)| = +\infty.$$ Démontrer que $f \sim g$ si et seulement si $\sigma_f = \sigma_g$. d. L'équivalence précédente subsiste-t-elle pour deux fonctions f et g quelconques de $S_*$ ? 3. On note $C_b^0$ l'espace des fonctions continues bornées de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, que l'on munit de la norme uniforme : $\|f\| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$ pour $f \in C_b^0$. a. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $\{u_1, \ldots, u_n\} \subset \mathbb{R}$ et $\{v_1, \ldots, v_n\} \subset \mathbb{R}$ avec $u_1 < \cdots < u_n$ et $v_1 < \cdots < v_n$. Montrer qu'il existe une application continue $\zeta : [0, 1] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que : – pour $s \in [0, 1]$, la fonction $x \mapsto \zeta(s, x)$ est une bijection strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, – $\zeta(0, x) = x$ pour $x \in \mathbb{R}$ et $\zeta(1, u_k) = v_k$, $1 \leq k \leq n$. b. Démontrer que les classes d'équivalence de la restriction de $\sim$ à $S_* \cap C_b^0$ sont connexes par arcs. c. Donner un exemple d'arc continu $\gamma : [0, 1] \to S \cap C_b^0$ tel que $\gamma(0) \in S_0$ et $\gamma(1) \in S_2$. Partie II Dans cette partie, pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathscr{P}_n$ l'espace des fonctions polynômiales de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de degré au plus n. 3 1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note Id l'application identique de $\mathbb{R}^n$. On munit $\mathbb{R}^n$ d'une norme notée $\|\|$ et l'espace des applications linéaires de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ de la norme associée, encore notée $\|\|$. Pour $x \in \mathbb{R}^n$ et $r \in \mathbb{R}^*$, on note $B(x, r)$ (resp. $B(x, r]$) la boule ouverte (resp. fermée) d'une classe $C^1$ telle que $f(0) = 0$ et dont la différentielle $\varphi$ en 0 est inversible. a. On pose $$g = \text{Id} - \varphi^{-1} \circ f.$$ Montrer que g est de classe $C^1$ sur $\mathcal{O}$ et qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que $B(0, \varepsilon) \subset \mathcal{O}$ et $\|Dg(x)\| \leq \frac{1}{2}$ pour $x \in B(0, \varepsilon)$. En déduire que f est injective dans $B(0, \varepsilon)$. b. Soit $0 < r < \varepsilon$ et soit $z_0 \in B(0, r/2)$. On pose $h(x) = g(x) + z_0$ pour $x \in \mathcal{O}$. Montrer que $$h(B(0, r]) \subset B(0, r].$$ c. Montrer qu'il existe $a \in B(0, r]$ tel que $f(a) = \varphi(z_0)$. d. Soient $W = \varphi(B(0, r/2))$ et $V = f^{-1}(W) \cap B(0, \varepsilon)$. Montrer que V et W sont ouverts et que $f_{|V}$ est un homéomorphisme de V sur W. 2. Soit $\mathcal{O}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et soit $f : \mathcal{O} \to \mathbb{R}^n$ une application de classe $C^1$ dont la différentielle en x est inversible pour tout $x \in \mathcal{O}$. Démontrer que l'image par f d'un ouvert de $\mathcal{O}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$. 3. Pour $n \geq 2$, soit $O_{n-1} = \{(x_1, \ldots, x_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} | 0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1}\}$ et soit $U_{n-1}$ l'ensemble des $(n - 1)$-uples $(y_1, \ldots, y_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1}$ tels que $$0 < y_1, \quad y_i > y_{i+1} \text{ si } i \in \{1, \ldots, n-2\} \text{ est impair,} \quad y_i < y_{i+1} \text{ si } i \in \{1, \ldots, n-2\} \text{ est pair.}$$ Pour $x \in O_{n-1}$, on définit la fonction $\pi_x \in \mathscr{P}_n$ par $\pi_x(t) = t(x_1 - t) \cdots (x_{n-1} - t)$. On définit l'application $Y = (Y_1, \ldots, Y_{n-1}) : O_{n-1} \to \mathbb{R}^{n-1}$ par $$Y_i(x) = \int_0^{x_i} \pi_x(u) \, du, \quad x = (x_1, \ldots, x_{n-1}) \in O_{n-1}.$$ a. Soient $j \in \{1, \ldots, n-1\}$ et $x \in O_{n-1}$. Montrer que $$d_{x,j} : t \mapsto \int_0^t u \prod_{1 \leq \ell \leq n-1, \, \ell \neq j} (x_\ell - u) \, du$$ est dans $\mathscr{P}_n$ et s'annule avec sa dérivée en 0. En déduire l'existence de $\chi_{x,j} \in \mathscr{P}_{n-2}$ vérifiant $$\forall t \in \mathbb{R}, \quad d_{x,j}(t) = t^2 \chi_{x,j}(t).$$ b. Pour $x \in O_{n-1}$ et $(i, j) \in \{1, \ldots, n-1\}^2$, montrer l'existence de $\frac{\partial Y_i}{\partial x_j}(x)$ et vérifier que $$\frac{\partial Y_i}{\partial x_j}(x) = d_{x,j}(x_i).$$ 4 En déduire que Y est une application de classe $C^1$ sur l'ouvert $O_{n-1}$, à valeurs dans $U_{n-1}$. c. Démontrer que pour $x \in O_{n-1}$, la partie $\{\chi_{x,j} | j \in \{1, \ldots, n-1\}\}$ est une base de $\mathscr{P}_{n-2}$. d. En déduire que la différentielle de Y au point x est inversible. 4. Pour $n \in \mathbb{N}$, une fonction de $\mathscr{P}_n$ est dite unitaire lorsque le coefficient de son terme de degré n est 1. On note $\mathscr{P}_n^u$ l'ensemble de ces fonctions. On note $C_n = \text{Inf } \{\int_0^1 |f(t)| \, dt \, | \, f \in \mathscr{P}_n^u\}$. a. Montrer que $C_n > 0$. b. Pour $n \geq 2$, démontrer que si $x \in O_{n-1}$ $$(x_{n-1})^{n+1} \leq \frac{1}{C_n} \left[ Y_1(x) + \sum_{i=1}^{n-2} (-1)^i (Y_{i+1}(x) - Y_i(x)) \right].$$ c. Vérifier que l'application Y se prolonge continûment à l'adhérence de $O_{n-1}$. d. Montrer que si K est un compact de $\mathbb{R}^{n-1}$ contenu dans $U_{n-1}$, $Y^{-1}(K)$ est compact. 5. Montrer que $Y(O_{n-1})$ est ouverte et fermée dans $U_{n-1}$ et en déduire que Y est surjective. 6. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, pour toute fonction f de $S_n$ vérifiant $\lim_{x \to \pm \infty} |f(x)| = \pm \infty$, il existe un élément $g \in \mathscr{P}_{n+1}$ tel que $f \sim g$ (où $\sim$ est la relation définie en I.2). Partie III Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{B}(n, k)$ l'ensemble des applications $\sigma \in MD(n+1)$ telles que $$\sigma(2) - \sigma(1) = k + 1$$ Pour $k \in \mathbb{N}$ et $s \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{C}(n, s, k)$ l'ensemble des éléments $\sigma$ de $MD(n+2)$ tels que $$\sigma(2) - \sigma(1) = s + 1, \quad n + 2 - \sigma(2) = k.$$ 1. Pour $m \geq 2$ vérifier que l'application $\text{Opp} : \Sigma_m \to \Sigma_m$, qui à $\sigma \in \Sigma_m$ associe $\eta \in \Sigma_m$ défini par $$\eta(i) = m + 1 - \sigma(i),$$ est une bijection vérifiant $\text{Opp}(MD(m)) = DM(m)$ et $\text{Opp}(DM(m)) = MD(m)$. Vérifier que si $\sigma \in \Sigma_m$ et si i, j sont des éléments de $\{1, \ldots, m\}$ vérifiant $\sigma(j) > \sigma(i)$, $$\sigma(j) - \sigma(i) = 1 + \text{Card } \{k \in \Delta_m \, | \, \sigma(i) < \sigma(k) < \sigma(j)\}.$$ 2. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur n et k l'ensemble $\mathcal{B}(n, k)$ est-il non vide ? À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur n, s et k l'ensemble $\mathcal{C}(n, s, k)$ est-il non vide ? 3. Dans cette question et la suivante, on fixe $n \geq 2$, $1 \leq k \leq n - 1$ et $1 \leq s \leq n - k$. On se propose de construire une bijection de $\mathcal{C}(n, s, k)$ sur $\mathcal{B}(n, k)$. Soit $\sigma \in \mathcal{C}(n, s, k)$. a. Vérifier que le nombre m d'entiers $j \geq 4$ tels que $\sigma(j) > \sigma(3)$ vérifie $m \geq k$. On note $j_1, \ldots, j_m$ ces entiers, que l'on ordonne de telle manière que $\sigma(j_1) < \sigma(j_2) < \cdots < \sigma(j_m)$. 5 b. On considère la fonction $\xi : \Delta_{n+1} \to \mathbb{N} \cup \{n(j_k) + \frac{1}{2}\}$ définie par $$\xi(1) = \sigma(j_k) + \frac{1}{2}, \quad \xi(2) = \sigma(3), \ldots, \xi(n+1) = \sigma(n+2)$$ Montrer que $\xi$ vérifie $$\xi(p) > \xi(p+1) \text{ pour } p \text{ impair,} \quad \xi(p) < \xi(p+1) \text{ pour } p \text{ pair,}$$ et que l'intervalle $]\xi(2), \xi(1)[$ contient exactement k éléments de $\{\xi(3), \ldots, \xi(n+1)\}$. c. On note $A = \xi(\Delta_{n+1})$ et on pose $\tilde{\xi} = \beta_A \circ \xi$ (on rappelle que $\beta_A$ désigne l'unique bijection croissante de A sur $\Delta_{n+1}$). Montrer que $\tilde{\xi} \in DM(n+1)$. d. Soit $\eta = \text{Opp}(\tilde{\xi})$. Vérifier que $\eta \in \mathcal{B}(n, k)$. On note $\Psi_{n,s,k}$ l'application de $\mathcal{C}(n, s, k)$ dans $\mathcal{B}(n, k)$ définie par $\Psi_{n,s,k}(\sigma) = \eta$. 4. Soit $\eta \in \mathcal{B}(n, k)$ et soit $\xi = \text{Opp}(\eta)$. a. Vérifier que le nombre $\bar{m}$ d'entiers $j \geq 3$ tels que $\xi(j) > \xi(2)$ vérifie $\bar{m} \geq k$. On note $j_1, \ldots, j_m$ ces entiers, avec $\xi(j_1) > \xi(j_2) > \cdots > \xi(j_m)$. b. On pose $u_2 = \xi(j_k) - \frac{1}{2} > \xi(2)$. Montrer que le nombre m' d'entiers $i \geq 2$ tels que $\xi(i) < u_2$ vérifie $m' \geq s$. On les note $i_1, \ldots, i_{m'}$, avec $\xi(i_1) > \cdots > \xi(i_{m'})$ et on pose $u_1 = \xi(i_s) - \frac{1}{2}$. c. En considérant l'application $\theta$ définie par $$\theta(1) = u_1, \, \theta(2) = u_2, \, \theta(3) = \xi(2), \ldots, \theta(n+2) = \xi(n+1),$$ montrer l'existence de $\sigma \in \mathcal{C}(n, s, k)$ vérifiant $\Psi_{n,s,k}(\sigma) = \eta$. d. Montrer que $\Psi_{n,s,k}$ est bijective. 5. Donner un procédé de calcul de Card $MD(n)$ par récurrence. Partie IV 1. On note $E_n = \text{Card } MD(n)$ et $\mathscr{I}_n$ l'ensemble des nombres impairs de $\Delta_n$. a. Démontrer que pour $n \geq 1 : E_{n+1} = \sum_{i \in \mathscr{I}_{n+1}} \binom{n}{i-1} E_i E_{n+1-i}$. b. En déduire que pour $n \geq 1 : 2E_{n+1} = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} E_i E_{n-i}$. 2. a. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum \frac{E_n}{n!} x^n$ est $\geq 1$. b. Pour $|x| < 1$, on note $f(x)$ la somme de la série entière précédente. Démontrer que $$2f'(x) = f^2(x) + 1, \quad \forall x \in ]-1, 1[.$$ 6 c. En déduire que $f(x) = \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos x} + \tan x, \, \forall x \in ]-1, 1[$, puis que $$\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}, \quad \tan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1}, \quad \forall x \in ]-1, 1[.$$ 3. Pour une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^\infty$ et $n \in \mathbb{N}$, on note $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre n de f, avec la convention $f^{(0)} = f$. On note $D : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}[X]$ l'unique application linéaire telle que $$D(X^0) = 0, \quad D(X^k) = k(X^{k-1} + X^{k+1}), \quad \forall k \in \mathbb{N}^*.$$ Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $D^n$ la composée d'ordre n de D, avec la convention $D^0 = \text{Id}$. a. Soit $P_n = D^n(X)$. Démontrer que pour $n \in \mathbb{N}$, $\tan^{(n)}(x) = P_n(\tan x)$ pour $x \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. b. Pour $m \in \mathbb{N}^*$, soit $V_m$ le sous-espace de $\mathbb{R}[X]$ engendré par $\{X, \ldots, X^m\}$. Soit $\iota_m$ l'injection canonique de $V_m$ dans $\mathbb{R}[X]$ et soit $\tau_m : \mathbb{R}[X] \to V_m$ la projection linéaire définie par $\tau_m(X^k) = X^k$ si $k \in \{1, \ldots, m\}$ et $\tau_m(X^k) = 0$ sinon. On pose enfin $\delta_m = \tau_m \circ D \circ \iota_m$. Vérifier que $\delta_m$ est une application linéaire de $V_m$ dans $V_m$ et écrire sa matrice $M_m$ dans la base $(X, \ldots, X^m)$. 4. Soit $C_m \in \mathbb{R}[Y]$ le polynôme caractéristique de $M_m$. a. Vérifier que $C_1 = Y$, $C_2 = Y^2 - 2$ et $$C_m = YC_{m-1} - m(m-1)C_{m-2}, \quad m \geq 3.$$ b. Calculer le déterminant de $M_m$. c. Démontrer que, si $e_m$ désigne la partie entière de $m/2$, $$C_m = \sum_{k=0}^{e_m} (-1)^k c_{m,k} Y^{m-2k},$$ avec $$c_{m,0} = 1; \quad c_{m,k} = \sum_{(a_1, \ldots, a_k) \in J_k(m)} a_1(a_1+1)a_2(a_2+1) \cdots a_k(a_k+1), \quad 1 \leq k \leq e_m;$$ où $J_k(m)$ désigne l'ensemble des k-uples d'entiers de $\{1, \ldots, m-1\}$ tels que $a_i + 2 \leq a_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq k-1$. 5. Dans la suite de cette partie, p désigne un entier premier impair fixé. On pourra utiliser sans démonstration le théorème de Wilson : $$(p-1)! + 1 \equiv 0 \quad [p].$$ On note $\mathbb{Z}_p$ le corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et si $a \in \mathbb{Z}$, on note $\overline{a}$ sa classe dans $\mathbb{Z}_p$. Pour $1 \leq k \leq e_p$, on note $\mathscr{P}_k$ l'ensemble des parties P à k éléments de $\mathbb{Z}_p$ vérifiant la condition $$\forall \alpha \in P, \quad \alpha + 1 \notin P.$$ 7 a. Pour $P = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\} \in \mathscr{P}_k$ et $\alpha \in \mathbb{Z}_p$, on pose $\tau_\alpha(P) = \{\alpha_1 + \alpha, \ldots, \alpha_k + \alpha\}$. Montrer que l'application $\alpha \mapsto \tau_\alpha$ est un morphisme de $(\mathbb{Z}_p, +)$ dans le groupe des bijections de $\mathscr{P}_k$. b. On définit une relation $\mathscr{R}$ entre éléments de $\mathscr{P}_k$ de la manière suivante : si A, B sont dans $\mathscr{P}_k$, $A \mathscr{R} B$ si et seulement si il existe $\alpha \in \mathbb{Z}_p$ tel que $B = \tau_\alpha(A)$. Montrer que $\mathscr{R}$ est une relation d'équivalence sur $\mathscr{P}_k$, et que chaque classe d'équivalence est de cardinal p et admet un représentant de la forme $\{\overline{0}, \overline{a_2}, \ldots, \overline{a_k}\}$ avec $0 < a_2 < \cdots < a_k < p$. On choisit tel représentant pour chaque classe et on note R l'ensemble des représentants ainsi choisis. c. Démontrer que $$\overline{c_{p-1,k}} = \sum_{\{0, \ldots, a_k\} \in R} \sum_{1 \leq \ell \leq p-1} \overline{\ell} \overline{\ell+1} \overline{a_2 + \ell} \overline{a_2 + \ell + 1} \cdots \overline{a_k + \ell} \overline{a_k + \ell + 1}.$$ 6. a. Pour $q \in \mathbb{N}$, on pose $S_q = \sum_{\ell=0}^{p-1} \overline{\ell^q}$. Observer que p divise