SESSION 2017 PCMA002 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ MATHEMATIQUES Mardi 2 mai : 14 h - 18 h ____________________ N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites L’´epreuve est constitu´ee d’un probl`eme en cinq parties largement ind´ependantes. Lorsqu’un raisonnement utilise un r´esultat obtenu pr´ec´edemment dans le probl`eme, il est demand´e au candidat d’indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee. 1/7 -- 1 of 8 -- PROBL` EME Soit p ∈ ]0, 1[. On pose q = 1 − p. On consid`ere un automate qui g´en`ere successivement les lettres C ou P jusqu’`a obtenir une certaine s´equence pr´ed´efinie. On suppose que pour tout n ∈ N∗, l’automate g´en`ere la n-i`eme lettre `a l’instant n de fa¸con ind´ependante de toutes les g´en´erations pr´ec´edentes. On suppose ´egalement qu’`a chaque g´en´eration, les lettres P et C ont des probabilit´es p et q (respectivement) d’ˆetre g´en´er´ees. Suivant les parties consid´er´ees, on d´efinit diff´erents niveaux que l’automate peut atteindre. On consid`ere dans tous les cas que l’automate est initialement au niveau 0. On se propose alors d’´etudier essentiellement l’existence de l’esp´erance et de la variance de la variable al´eatoire correspondant au temps d’attente de la s´equence pr´ed´efinie `a travers sa s´erie g´en´eratrice. Pour cette ´etude probabiliste, on mobilise diverses propri´et´es analytiques (surtout sur les s´eries enti`eres) et quelques propri´et´es d’alg`ebre lin´eaire. Dans les parties I, II et V, on examine le temps d’attente pour les s´equences C puis CC, puis CPC et CCPPC. La partie II est ind´ependante de la partie I et traite de questions pr´eliminaires sur les s´eries enti`eres qui seront investies dans les parties III et V. La partie IV est ind´ependante des parties pr´ec´edentes et traite les questions pr´eliminaires d’alg`ebre lin´eaire qui servent exclu- sivement dans la partie V. La partie III ne d´epend de la partie I que par la question Q4 et de la partie II que par la question Q10. La partie V utilise seulement la question Q11 de la partie II et la partie IV. Pour n ∈ N∗, on note Pn l’´ev`enement l’automate g´en`ere la lettre P `a l’instant n et Cn l’´ev`enement l’automate g´en`ere la lettre C `a l’instant n . Partie I - ´ Etude d’un cas simple Dans cette partie, on dit que l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 d`es qu’il g´en`ere la lettre C. Si, en revanche, il g´en`ere la lettre P, alors il reste au niveau 0. L’exp´erience s’arrˆete d`es que l’automate a atteint le niveau 1. On r´esume l’exp´erience par la figure 1 suivante : 0 1 C P Figure 1 On note Y l’instant o`u, pour la premi`ere fois, l’automate atteint le niveau 1. On admet que Y est une variable al´eatoire d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω, A , P) telle que Y (Ω) ⊂ N∗. On note GY la s´erie g´en´eratrice de Y et RY son rayon de convergence. On sait alors que RY 1 et que : ∀t ∈ ] − RY , RY [, GY (t) = E(tY ) = +∞ ∑ n=1 P(Y = n)tn. 2/7 -- 2 of 8 -- Q1. Reconnaˆıtre la loi de Y et pr´eciser en particulier P(Y = n) pour n ∈ N∗. Q2. Montrer que RY = 1 p > 1 et que : ∀t ∈ ] − 1 p, 1 p [ , GY (t) = qt 1 − pt. Q3. Montrer que GY est 2 fois d´erivable en 1 et que G′ Y (1) = 1 q et G′′ Y (1) = 2p q2 . Q4. Donner les valeurs de E(Y ) et de V(Y ). Partie II - S´ eries enti` eres Soit z ∈ C et a ∈ C∗. Pour n ∈ N, on pose un(a) = − 1 an+1 . Q5. Montrer que ∑ un(a)zn est une s´erie enti`ere de rayon de convergence ´egal `a |a|. Q6. Montrer que si |z| < |a|, on a : 1 z − a = +∞ ∑ n=0 un(a)zn. Soit a, b et λ des nombres complexes non nuls. Dans les questions Q7 `a Q10, on suppose que |a| < |b|. On d´efinit alors, pour tout n ∈ N, vn = n ∑ k=0 uk(a)un−k(b) et pour tout r´eel t tel que |t| < |a|, f (t) = λt2 (t − a)(t − b). Q7. Montrer que l’on a : vn = 1 abn+1 n ∑ k=0 ( b a )k = 1 b − a ( 1 an+1 − 1 bn+1 ) . Q8. Trouver un ´equivalent simple de vn quand n tend vers +∞. Q9. En d´eduire que le rayon de convergence de ∑ vnzn est ´egal `a |a| et que si |z| < |a|, alors 1 (z − a)(z − b) = +∞ ∑ n=0 vnzn. Q10. Justifier que f est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0 et que la s´erie enti`ere qui lui est associ´ee poss`ede un rayon de convergence Rf tel que Rf = |a|. Soit a, b, c et λ des nombres complexes non nuls. On suppose que : |a| |b| |c|. Pour tout r´eel t tel que |t| < |a|, on pose : g(t) = λt3 (t − a)(t − b)(t − c). Q11. Justifier que g est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0 et que la s´erie enti`ere qui lui est associ´ee poss`ede un rayon de convergence Rg tel que Rg |a|. 3/7 -- 3 of 8 -- Partie III - ´ Etude d’un cas interm´ ediaire Dans cette partie, on suppose que l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 en g´en´erant la lettre C. De mˆeme, l’automate passe du niveau 1 au niveau 2 en g´en´erant la lettre C. Si, en revanche, il g´en`ere la lettre P, alors qu’il est au niveau 0 ou 1, il retombe au niveau 0. L’exp´erience s’arrˆete d`es que l’automate a atteint le niveau 2, c’est-`a-dire d`es que l’automate aura g´en´er´e la s´equence CC. On r´esume l’exp´erience par la figure 2 suivante : 0 1 2 C P C P Figure 2 On note Z l’instant o`u, pour la premi`ere fois, l’automate atteint le niveau 2. Ainsi Z est le temps d’attente de la s´equence CC. On admet que Z est une variable al´eatoire d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω, A , P) telle que Z(Ω) ⊂ N∗. Pour tout n ∈ N∗, on note pn = P(Z = n). On note GZ la s´erie g´en´eratrice de Z et RZ son rayon de convergence. On rappelle que RZ 1. Q12. Calculer p1, p2 et p3. Q13. Justifier que (P1, C1 ∩ P2, C1 ∩ C2) est un syst`eme complet d’´ev`enements. Q14. En d´eduire que pour tout n 3, on a : pn = ppn−1 + pqpn−2. Q15. En d´eduire que pour tout t ∈ [−1, 1], on a : GZ (t)(1 − pt − pqt2) = q2t2. Pour t ∈ R, on note Q(t) = 1 − pt − pqt2, ∆ = p2 + 4pq > 0, a = √∆ − p 2pq et b = −√∆ − p 2pq . Q16. Montrer que Q(−1) = 1 + p2 > 0 et que Q(1) = q2 > 0. Q17. Montrer que, pour tout t ∈ R, Q(t) = −pq(t − a)(t − b). Q18. Montrer que 1 < |a| < |b|. Pour tout r´eel t tel que |t| < |a|, on d´efinit f (t) = q2t2 1 − pt − pqt2 . Q19. Montrer `a l’aide de la question Q10 que f est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0, que sa s´erie enti`ere associ´ee est GZ et que RZ = |a|. Q20. Montrer que, pour tout t ∈ ]−|a|, |a|[, on a : GZ (t) = q2t2 1 − pt − pqt2 . Q21. Montrer que Z admet une esp´erance et une variance puis que E(Z) = q−1 + q−2. Q22. V´erifier, `a l’aide des questions Q4 et Q21, que E(Z) E(Y ) + 1 o`u Y est la variable al´eatoire d´efinie en partie I. Q23. Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ? 4/7 -- 4 of 8 -- Partie IV - Alg` ebre lin´ eaire On consid`ere les matrices I4 =     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1    , A =     p 0 p 0 q q 0 0 0 p 0 0 0 0 q 0     et L =     1 0 0 0    . Soit t ∈ R. On note χA le polynˆome caract´eristique de A, si bien que χA(t) est le d´eterminant de A − tI4. Q24. Montrer que 0 est valeur propre de A et donner un vecteur propre de A associ´e `a la valeur propre 0. Q25. Trouver les r´eels α, β et γ tels que, pour tout t ∈ R, χA(t) = t4 − t3 + αt2 + βt + γ. On dit que la matrice colonne S =     S0 S1 S2 S3     est solution de (Et) lorsque S = tAS + L. Q26. Montrer que, pour tout t ∈ R, S est solution de (Et) si et seulement si (I4 − tA)S = L. Pour tout t ∈ R, on note ψA(t) le d´eterminant de la matrice I4 − tA. Q27. Montrer que pour tout t ∈ R∗, ψA(t) = t4χA(1/t). Q28. V´erifier que pour tout t ∈ R, ψA(t) = −p2qt3 + pqt2 − t + 1. Q29. En d´eduire que, pour t au voisinage de 0, l’´equation (Et) poss`ede une unique solution S. Pour tout k ∈ [[1, 4]], on note Uk la k-i`eme colonne de I4 − tA. On note B la base canonique de M4,1(C) et on suppose que la matrice colonne S =     S0 S1 S2 S3     est solution de (Et). Q30. V´erifier que L = U1S0 + U2S1 + U3S2 + U4S3. Q31. En d´eduire que detB (U1, U2, U3, L) = S3 · detB (U1, U2, U3, U4) = S3 · ψA(t). Q32. Montrer que, pour t au voisinage de 0, on a l’´egalit´e : S3 = pq2t3 −p2qt3 + pqt2 − t + 1. On se propose de d´eterminer certaines propri´et´es des valeurs propres de A. On note λ une valeur propre complexe non nulle de A. Q33. Montrer que λ est valeur propre de la matrice transpos´ee de A. 5/7 -- 5 of 8 -- Q34. En d´eduire qu’il existe trois complexes non tous nuls x1, x2 et x3 tels que : (H )    px1 + qx2 = λx1 qx2 + px3 = λx2 px1 = λx3 . On consid`ere d´esormais trois complexes non tous nuls x1, x2 et x3 qui v´erifient le syst`eme (H ). On note alors M = max(|x1|, |x2|, |x3|) et on remarque que l’on peut toujours se placer dans l’un des trois cas suivants : i) M = |x3| ; ii) M = |x2| avec M > |x3| ; iii) M = |x1| avec M > |x2| et M > |x3|. Q35. Montrer, en distinguant ces trois cas, que |λ| < 1. Q36. Montrer l’existence de nombres complexes λ1, λ2 et λ3 tels que : 0 < |λ1| |λ2| |λ3| < 1 et ∀t ∈ R, χA(t) = t(t − λ1)(t − λ2)(t − λ3). Q37. Montrer l’existence de nombres complexes μ, a, b et c tels que : μ = 0, 1 < |a| |b| |c| et ∀t ∈ R, ψA(t) = μ(t − a)(t − b)(t − c). Partie V - ´ Etude d’un dernier cas Dans cette partie, on suppose que : • l’automate passe du niveau 0 au niveau 1 en g´en´erant la lettre C ; • l’automate passe du niveau 1 au niveau 2 en g´en´erant la lettre P ; • l’automate passe du niveau 2 au niveau 3 en g´en´erant la lettre C ; • si l’automate est au niveau 0 ou 2 et qu’il g´en`ere la lettre P, alors il retombe au niveau 0 ; • si l’automate est au niveau 1 et qu’il g´en`ere la lettre C, alors il reste au niveau 1. L’exp´erience s’arrˆete d`es que l’automate a atteint le niveau 3, c’est-`a-dire d`es que l’automate aura g´en´er´e la s´equence CPC. Q38. Reproduire, sur votre copie, la figure 3 suivante en la compl´etant pour r´esumer l’exp´erience de cette partie V. 0 1 2 3 Figure 3 Pour i ∈ [[0, 3]] et n ∈ N∗, on note En,i l’´ev´enement apr`es avoir g´en´er´e la n-i`eme lettre, l’automate se trouve au niveau i et E0,i l’´ev´enement l’automate se trouve initialement au niveau i . On pose pn,i = P(En,i) et pour tout t ∈ [−1, 1], on d´efinit Si(t) = +∞ ∑ n=0 pn,itn. 6/7 -- 6 of 8 -- On note T l’instant o`u, pour la premi`ere fois, l’automate atteint le niveau 3. On admet que T est une variable al´eatoire d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω, A , P) telle que T (Ω) ⊂ N∗. On remarque que la s´erie g´en´eratrice de T (not´ee GT ) est alors S3 et on note RT son rayon de convergence. On rappelle que RT 1. Q39. D´eterminer p0,0, p0,1, p0,2 et p0,3. Q40. Montrer que pour tout n ∈ N∗, on a :        pn,0 = p · pn−1,0 + p · pn−1,2 pn,1 = q · pn−1,0 + q · pn−1,1 pn,2 = p · pn−1,1 pn,3 = q · pn−1,2 . Soit t ∈ [−1, 1]. On note S(t) la matrice colonne suivante : S(t) =     S0(t) S1(t) S2(t) S3(t)    . Q41. Montrer que        S0(t) = tp · S0(t) + tp · S2(t) +1 S1(t) = tq · S0(t) + tq · S1(t) S2(t) = tp · S1(t) S3(t) = tq · S2(t) . Q42. Montrer que la matrice colonne S(t) est solution de l’´equation (Et) d´efinie en partie IV. Q43. Montrer que ∀t ∈ ] − RT , RT [, GT (t) = pq2t3 −p2qt3 + pqt2 − t + 1 et montrer que RT > 1. Q44. Montrer que T admet une esp´erance et une variance. Q45. Donner l’expression de E(T ) en fonction de q seulement. Q46. Proposer une m´ethode permettant de d´eterminer le temps d’attente moyen de la premi`ere r´ealisation par l’automate de la s´equence CCPPC : on pr´ecisera notamment le sch´ema des six niveaux correspondants et la matrice analogue `a A que l’on peut faire intervenir dans ce probl`eme. FIN 7/7 -- 7 of 8 -- I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 17 1183 – D’après documents fournis -- 8 of 8 --