2019-03-26 11:18:34 Page 1/4 2019 Mathématiques 2 PC 4 heures Calculatrice autorisée Le sujet est composée de trois parties. Dans la partie I, on définit une suite (𝛼𝑛)𝑛 d’entiers naturels via le développement en série entière d’une fonction auxiliaire et on s’intéresse en particulier à la suite extraite (𝛼2𝑛+1)𝑛 formée des termes de rang impair. Dans la partie II, on détermine un équivalent, lorsque 𝑛 tend vers l’infini, de 𝛼2𝑛+1 en faisant appel à des outils analytiques et notamment à la fonction zêta de Riemann. Dans la partie III, on définit les permutations alternantes. On procède d’abord à leur dénombrement, avant de s’intéresser à des aspects probabilistes. La partie II fait appel, très ponctuellement, à des résultats de la partie I. La partie III utilise des résultats des parties I et II. I Introduction d’une fonction auxiliaire Soit l’intervalle 𝐼 = ]−𝜋/2, 𝜋/2[. On considère la fonction 𝑓 définie sur 𝐼 par ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 1 cos 𝑥 . On note 𝑓(𝑛) la dérivée d’ordre 𝑛 de 𝑓 et, par convention, 𝑓(0) = 𝑓. I.A – Dérivées successives Q 1. Exprimer les dérivées 𝑓′, 𝑓″ et 𝑓(3) à l’aide des fonctions usuelles. Q 2. Montrer qu’il existe une suite de polynômes (𝑃𝑛)𝑛∈ℕ à coefficients réels telle que ∀𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑃𝑛(sin 𝑥) (cos 𝑥)𝑛+1 . On explicitera les polynômes 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 et, pour tout entier naturel 𝑛, on exprimera 𝑃𝑛+1 en fonction de 𝑃𝑛 et 𝑃 ′𝑛 . Q 3. Justifier que, pour tout entier 𝑛 ⩾ 1, le polynôme 𝑃𝑛 est unitaire, de degré 𝑛 et que ses coefficients sont des entiers naturels. Q 4. Montrer ∀𝑥 ∈ 𝐼, 2𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥)2 + 1. Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝛼𝑛 = 𝑓(𝑛)(0) = 𝑃𝑛(0). Q 5. Montrer 2𝛼1 = 𝛼2 0 + 1 et ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, 2𝛼𝑛+1 = 𝑛 ∑ 𝑘=0 (𝑛 𝑘)𝛼𝑘𝛼𝑛−𝑘. I.B – Développement en série entière On note 𝑅 le rayon de convergence de la série entière ∑ 𝑛∈ℕ 𝛼𝑛 𝑛! 𝑥𝑛 et 𝑔 sa somme. Q 6. À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer ∀𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑥 ∈ [0, 𝜋/2[, 𝑁 ∑ 𝑛=0 𝛼𝑛 𝑛! 𝑥𝑛 ⩽ 𝑓(𝑥). -- 1 of 4 -- 2019-03-26 11:18:34 Page 2/4 Q 7. En déduire la minoration 𝑅 ⩾ 𝜋/2. Q 8. Montrer ∀𝑥 ∈ 𝐼, 2𝑔′(𝑥) = 𝑔(𝑥)2 + 1. Q 9. Montrer ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Considérer les fonctions arctan 𝑓 et arctan 𝑔. Q 10. En déduire que 𝑅 = 𝜋/2. I.C – Partie paire et partie impaire du développement en série entière Q 11. Justifier que toute fonction ℎ : 𝐼 → ℝ s’écrit de façon unique sous la forme ℎ = 𝑝 + 𝑖 avec 𝑝 : 𝐼 → ℝ une fonction paire et 𝑖 : 𝐼 → ℝ une fonction impaire. Q 12. En déduire ∀𝑥 ∈ 𝐼, tan(𝑥) = +∞ ∑ 𝑛=0 𝛼2𝑛+1 (2𝑛 + 1)! 𝑥2𝑛+1 et 1 cos 𝑥 = +∞ ∑ 𝑛=0 𝛼2𝑛 (2𝑛)! 𝑥2𝑛. On note 𝑡 la fonction définie sur 𝐼 par 𝑡(𝑥) = tan(𝑥). Q 13. Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑡(𝑛)(0) en fonction des réels (𝛼𝑖)𝑖∈ℕ. Q 14. Rappeler, sans justification, l’expression de 𝑡′ en fonction de 𝑡. Q 15. En déduire ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, 𝛼2𝑛+1 = 𝑛 ∑ 𝑘=1 ( 2𝑛 2𝑘 − 1)𝛼2𝑘−1𝛼2𝑛−2𝑘+1. II Équivalent de 𝛼2𝑛+1 II.A – La fonction zêta Pour tout 𝑠 > 1, on pose 𝜁(𝑠) = +∞ ∑ 𝑛=1 1 𝑛𝑠 . Q 16. Montrer que 𝜁 est continue sur ]1, +∞[. Q 17. Encadrer +∞ ∑ 𝑛=2 1 𝑛𝑠 par deux intégrales et en déduire lim 𝑠→+∞ 𝜁(𝑠) = 1. Q 18. Déterminer 𝐶(𝑠) tel que ∀𝑠 ∈ ]1, +∞[, +∞ ∑ 𝑘=1 1 (2𝑘 − 1)𝑠 = 𝐶(𝑠) 𝜁(𝑠). II.B – Une formule pour la fonction cosinus Pour tout entier naturel 𝑛 et tout réel 𝑥, on pose 𝐼𝑛(𝑥) = 𝜋/2 ∫ 0 cos(2𝑥𝑡)(cos 𝑡)𝑛 d𝑡. Q 19. Montrer ∀𝑛 ∈ ⟦2, +∞⟦, ∀𝑥 ∈ ℝ, (1 − 4𝑥2 𝑛2 ) 𝐼𝑛(𝑥) = 𝑛 − 1 𝑛 𝐼𝑛−2(𝑥) et (1 − 4𝑥2 𝑛2 ) 𝐼𝑛(𝑥) 𝐼𝑛(0) = 𝐼𝑛−2(𝑥) 𝐼𝑛−2(0) . -- 2 of 4 -- 2019-03-26 11:18:34 Page 3/4 Q 20. Montrer ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, ∀𝑥 ∈ ℝ, sin(𝜋𝑥) = 𝜋𝑥 𝐼2𝑛(𝑥) 𝐼2𝑛(0) 𝑛 ∏ 𝑘=1 (1 − 𝑥2 𝑘2 ) . Q 21. En déduire ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, ∀𝑥 ∈ ]0, 1[, cos(𝜋𝑥) = 1 2 𝐼4𝑛(2𝑥) 𝐼4𝑛(0) 𝐼2𝑛(0) 𝐼2𝑛(𝑥) 𝑛 ∏ 𝑝=1 (1 − 4𝑥2 (2𝑝 − 1)2 ) . II.C – Un autre développement de tangente Dans toute cette sous-partie II.C, on pose 𝐽 = [0, 1/2[ et, pour tout entier naturel 𝑛 et tout réel 𝑥 de 𝐽, 𝑆𝑛(𝑥) = +∞ ∑ 𝑝=1 ( +∞ ∑ 𝑘=𝑛+1 22𝑝+1𝑥2𝑝−1 (2𝑘 − 1)2𝑝 ) . Q 22. Montrer ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, ∀𝑠 ∈ ]1, +∞[, +∞ ∑ 𝑘=𝑛+1 1 (2𝑘 − 1)𝑠 ⩽ 1 2(𝑠 − 1) 1 (2𝑛 − 1)𝑠−1 . Q 23. Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛, la fonction 𝑆𝑛 est définie sur 𝐽. Q 24. Montrer que la suite (𝑆𝑛) converge simplement sur 𝐽 vers la fonction nulle. Q 25. En dérivant 𝑥 ↦ ln(cos(𝜋𝑥)), montrer ∀𝑥 ∈ 𝐽 , 𝜋 tan(𝜋𝑥) = − 2𝐼′4𝑛(2𝑥) 𝐼4𝑛(2𝑥) + 𝐼′2𝑛(𝑥) 𝐼2𝑛(𝑥) + 𝑛 ∑ 𝑘=1 8𝑥 (2𝑘 − 1)2 1 1 − 4𝑥2 (2𝑘 − 1)2 . Q 26. Montrer ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, ∀𝑥 ∈ 𝐽 , 𝜋 tan(𝜋𝑥) + 𝑆𝑛(𝑥) = − 2𝐼′4𝑛(2𝑥) 𝐼4𝑛(2𝑥) + 𝐼′2𝑛(𝑥) 𝐼2𝑛(𝑥) + +∞ ∑ 𝑝=1 2(22𝑝 − 1)𝜁(2𝑝) 𝑥2𝑝−1. Q 27. Montrer l’inégalité 𝑡 cos(𝑡) ⩽ sin(𝑡), pour tout 𝑡 de [0, 𝜋/2]. Q 28. En déduire ∀𝑛 ∈ ℕ⋆, ∀𝑥 ∈ [0, 1], 0 ⩽ −𝐼′𝑛(𝑥) ⩽ 4𝑥 𝑛 𝐼𝑛(𝑥) puis, pour 𝑥 ∈ [0, 1], la limite lim 𝑛→+∞ 𝐼′𝑛(𝑥) 𝐼𝑛(𝑥) . Q 29. En déduire l’égalité ∀𝑥 ∈ 𝐽 , 𝜋 tan(𝜋𝑥) = +∞ ∑ 𝑝=1 2 (22𝑝 − 1) 𝜁(2𝑝) 𝑥2𝑝−1. II.D – Un équivalent de 𝛼2𝑛+1 Q 30. Montrer ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝛼2𝑛+1 = 2 (22𝑛+2 − 1) (2𝑛 + 1)! 𝜋2𝑛+2 𝜁(2𝑛 + 2). Q 31. En déduire un équivalent de 𝛼2𝑛+1 lorsque 𝑛 tend vers l’infini. -- 3 of 4 -- 2019-03-26 11:18:34 Page 4/4 III Permutations alternantes Soit 𝑛 un entier supérieur ou égal à 2 et soit (𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛) une liste de 𝑛 nombres réels. On dit que la liste (𝑥1, …, 𝑥𝑛) est alternante montante si (−1)𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) > 0 pour tout 𝑖 ∈ ⟦2, 𝑛⟧. On dit qu’elle est alternante descendante si (−1)𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) < 0 pour tout 𝑖 ∈ ⟦2, 𝑛⟧. Autrement dit, la liste (𝑥1, …, 𝑥𝑛) est alternante montante si elle vérifie les inégalités 𝑥1 < 𝑥2 > 𝑥3 < 𝑥4 > ⋯. Elle est alternante descendante si elle vérifie les inégalités inverses. Par exemple, (1, 5, 3, 11, 8, 9) est alternante montante car 1 < 5 > 3 < 11 > 8 < 9 et (7, 4, 5, 2, 12) est alternante descendante car 7 > 4 < 5 > 2 < 12. On dit qu’une permutation 𝜎 de l’ensemble ⟦1, 𝑛⟧ est alternante montante (respectivement alternante descen- dante) si la liste (𝜎(1), …, 𝜎(𝑛)) est alternante montante (respectivement alternante descendante). Par exemple, avec 𝑛 = 7 et en représentant toute permutation 𝜎 par la liste des images (𝜎(1), …, 𝜎(7)), on constate que (1, 5, 4, 6, 2, 7, 3) représente une permutation alternante montante et (3, 2, 6, 4, 7, 1, 5) une permu- tation alternante descendante. III.A – Dénombrement des permutations alternantes Q 32. Déterminer les permutations alternantes montantes de ⟦1, 𝑛⟧ pour 𝑛 = 2, 𝑛 = 3, 𝑛 = 4. Q 33. Montrer, pour tout 𝑛 ⩾ 2, que le nombre de permutations alternantes montantes est égal au nombre de permutations alternantes descendantes. Si 𝑛 ⩾ 2, on note 𝛽𝑛 le nombre de permutations alternantes montantes de ⟦1, 𝑛⟧, et on convient que 𝛽0 = 𝛽1 = 1. Q 34. Soient 𝑘 et 𝑛 deux entiers tels que 2 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 et 𝐴 une partie à 𝑘 éléments de ⟦1, 𝑛⟧. On considère les listes (𝑥1, …, 𝑥𝑘) constituées de 𝑘 éléments deux à deux distincts de 𝐴. Montrer que le nombre de ces listes qui sont alternantes montantes est égal à 𝛽𝑘. Le nombre de celles qui sont alternantes descendantes est le même, mais on ne demande pas de le justifier. Q 35. Montrer, pour tout entier 𝑛 ⩾ 1, 2𝛽𝑛+1 = 𝑛 ∑ 𝑘=0 (𝑛 𝑘)𝛽𝑘𝛽𝑛−𝑘. Pour 𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛⟧, dénombrer les permutations 𝜎 alternantes (montantes ou descendantes) de ⟦1, 𝑛 + 1⟧ telles que 𝜎(𝑘 + 1) = 𝑛 + 1. Q 36. En déduire que 𝛽𝑛 = 𝛼𝑛 pour tout 𝑛 ∈ ℕ. III.B – Permutations aléatoires Pour tout entier 𝑛 ⩾ 2, on munit l’ensemble Ω𝑛 des permutations de ⟦1, 𝑛⟧ de la probabilité uniforme. On note 𝑝𝑛 la probabilité qu’une permutation dans Ω𝑛 soit alternante montante. On convient de plus que 𝑝0 = 𝑝1 = 1. Q 37. Montrer que la suite (𝑝𝑛) tend vers 0. Donner un équivalent de 𝑝2𝑛+1 quand 𝑛 tend vers l’infini. On définit une variable aléatoire 𝑀𝑛 sur Ω𝑛 en associant à toute permutation 𝜎 ∈ Ω𝑛 l’entier 𝑀𝑛(𝜎) tel que : — 𝑀𝑛(𝜎) = 2 si 𝜎(1) > 𝜎(2) ; — 𝑀𝑛(𝜎) = 3 si 𝜎(1) < 𝜎(2) < 𝜎(3) ; — 𝑀𝑛(𝜎) = 4 si 𝜎(1) < 𝜎(2) > 𝜎(3) > 𝜎(4) ; — ⋯ — 𝑀𝑛(𝜎) = 𝑛 + 1 si 𝜎 est alternante montante. En d’autres termes, 𝑀𝑛(𝜎) = 𝑘 + 1, où 𝑘 est le plus grand entier tel que (𝜎(1), …, 𝜎(𝑘)) soit alternante montante. On note 𝔼(𝑀𝑛) l’espérance de 𝑀𝑛. Q 38. Pour tout 𝑖 ∈ ⟦0, 𝑛⟧, montrer ℙ(𝑀𝑛 > 𝑖) = 𝑝𝑖. Q 39. Exprimer 𝔼(𝑀𝑛) en fonction de 𝑝0, 𝑝1, …, 𝑝𝑛. En déduire lim 𝑛→∞ 𝔼(𝑀𝑛) = sin(1) + 1 cos(1) . • • • FIN • • • -- 4 of 4 --