cpge-paradise.com ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2025 LUNDI 14 AVRIL 2025 08h00 - 12h00 FILIERE PC - Epreuve n° 1 MATHEMATIQUES (XEULS) Durée : 4 heures L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve cpge-paradise.com Le but de ce sujet est d'étudier les perturbations de rang 1 de matrices. NOTATIONS Dans l'ensemble du sujet, $m, n$ désignent des entiers strictement positifs. On note $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices $m$ lignes et $n$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{R}$, et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices réelles carrées de taille $n \times n$. On note $S_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $\mathbb{I}_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. La matrice transposée d'une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est notée $A^T$. Les coefficients d'un vecteur $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ sont notés $x_1, \cdots, x_n$. Dans ce sujet, les vecteurs sont notés en gras, et sont identifiés à des matrices colonnes $\mathbf{x} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, par exemple $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$ de transposée $\mathbf{x}^T = (x_1 \quad x_2 \quad \cdots \quad x_n)$. Pour tous $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$, la matrice $\mathbf{x}^T \mathbf{y} \in \mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ est identifiée au nombre réel $\sum_{i=1}^n x_i y_i$ ; l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ est muni de son produit scalaire et de sa norme usuels, notés respectivement $$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i, \quad \text{et} \quad \|\mathbf{x}\| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$$ Les deux premières parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. Les parties 4 et 5 sont indépendantes entre elles, et s'appuient sur des résultats des parties précédentes. À tout moment il est possible d'admettre le résultat d'une question et de l'utiliser ultérieurement, à condition de l'indiquer clairement. PREMIÈRE PARTIE 1. Soient $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$. On pose $M = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$. Monter que $M$ est une matrice carrée de taille $n \times n$, de rang 1. 2. Calculer avec justification le rang de la matrice $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ suivante : $$J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.$$ 3. Réciproquement, soit $K \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée de rang 1. Montrer qu'il existe $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$ tels que $K = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$. cpge-paradise.com 2 4. Soient $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$. Montrer que $\mathbf{u}\mathbf{v}^T = \mathbf{x}\mathbf{y}^T$ si et seulement si il existe $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ tel que $$\mathbf{u} = \lambda \mathbf{x}, \quad \text{et} \quad \mathbf{v} = \frac{1}{\lambda} \mathbf{y}.$$ 5. Soit $K \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice de rang 1, et soient $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ tels que $K = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$. (a) Montrer que $\mathrm{Tr}(K) = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$. (b) Montrer que $K^2 = \mathrm{Tr}(K) K$. (c) En déduire que $K$ est diagonalisable si et seulement si $\mathrm{Tr}(K) \neq 0$. 6. Soit $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $P$ est un projecteur orthogonal de rang 1 si et seulement si il existe $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ avec $\|\mathbf{y}\| = 1$ tels que $P = \mathbf{y}\mathbf{y}^T$. DEUXIÈME PARTIE Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible, et soient $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$. 7. Calculer le produit matriciel par blocs $$\begin{pmatrix} \mathbb{I}_n & 0 \\ \mathbf{v}^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbb{I}_n + \mathbf{u}\mathbf{v}^T & \mathbf{u} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbb{I}_n & 0 \\ -\mathbf{v}^T & 1 \end{pmatrix}.$$ 8. Montrer que $$\det \left( \mathbb{I}_n + \mathbf{u}\mathbf{v}^T \right) = 1 + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle.$$ 9. Montrer plus généralement que $$\det \left( A + \mathbf{u}\mathbf{v}^T \right) = \det(A) \left( 1 + \langle \mathbf{v}, A^{-1}\mathbf{u} \rangle \right).$$ 10. Montrer que $A + \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ est inversible si et seulement si $\langle \mathbf{v}, A^{-1}\mathbf{u} \rangle \neq -1$. 11. On suppose que $A + \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ est inversible. Montrer que $$\left( A + \mathbf{u}\mathbf{v}^T \right)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\mathbf{u}\mathbf{v}^T A^{-1}}{1 + \langle \mathbf{v}, A^{-1}\mathbf{u} \rangle}.$$ 12. Soit $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice telle que $\det(C) = 0$. A-t-on toujours $\det(C + \mathbf{u}\mathbf{v}^T) = 0$ ? Justifiez votre réponse. TROISIÈME PARTIE On s'intéresse maintenant au cas où $A \in S_n(\mathbb{R})$ est symétrique. Soit $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$ tel que $\|\mathbf{u}\| = 1$. On pose $$B = A + \mathbf{u}\mathbf{u}^T.$$ 13. Montrer que $B \in S_n(\mathbb{R})$. Soient $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, et soit $(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n)$ une base orthonormale quelconque de $\mathbb{R}^n$. On rappelle que $M = N$ si et seulement si $M\mathbf{v}_k = N\mathbf{v}_k$ pour tout $1 \leqslant k \leqslant n$. 14. Soit $(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n)$ une base orthonormale quelconque de $\mathbb{R}^n$. Montrer que $$\mathbb{I}_n = \sum_{k=1}^n \mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^T.$$ cpge-paradise.com 3 15. On s'intéresse maintenant à la matrice symétrique $A$. En vertu du théorème spectral, on note $\lambda_1 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $A$, et $(\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres correspondante. (a) Montrer que $$A = \sum_{k=1}^n \lambda_k \mathbf{w}_k \mathbf{w}_k^T.$$ (b) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, on a $$(x\mathbb{I}_n - A)^{-1} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{x - \lambda_k} \mathbf{w}_k \mathbf{w}_k^T.$$ 16. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ de multiplicité $m \geqslant 2$. On pose $E = \mathrm{Ker}(A - \lambda\mathbb{I}_n)$. (a) Montrer que $\dim \left( E \cap \{\mathbf{u}\}^\perp \right) \geqslant m - 1$. (b) En déduire que $\lambda$ est une valeur propre de $B$ de multiplicité au moins $m - 1$. 17. On note $\chi_A(x) = \det(x\mathbb{I}_n - A)$ le polynôme caractéristique de $A$, et $\chi_B(x) = \det(x\mathbb{I}_n - B)$ celui de $B$. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, on a $$\chi_B(x) = \chi_A(x) \left( 1 - \sum_{k=1}^n \frac{\langle \mathbf{w}_k, \mathbf{u} \rangle^2}{x - \lambda_k} \right).$$ 18. Soit $J = \{k \in \{1, 2, \ldots, n\}, \langle \mathbf{w}_k, \mathbf{u} \rangle \neq 0\}$ l'ensemble des indices $k$ tels que $\langle \mathbf{w}_k, \mathbf{u} \rangle \neq 0$. (a) Montrer que $J \neq \varnothing$. (b) Soit $\ell \notin J$. Montrer que $\lambda_\ell$ est une valeur propre de $B$. (c) On suppose que $J = \{j\}$ pour un $j \in \{1, 2, \ldots, n\}$. Montrer que les valeurs propres de $B$ sont $$(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_{j-1}, \lambda_j + 1, \lambda_{j+1}, \ldots, \lambda_n).$$ 19. On suppose dans cette question que $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$, et que $J = \{1, 2, \ldots, n\}$. Pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$ on pose $$f(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\langle \mathbf{w}_k, \mathbf{u} \rangle^2}{x - \lambda_k}.$$ (a) Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$, et calculer sa dérivée $f'(x)$. (b) Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution dans chaque intervalle $]\lambda_\ell, \lambda_{\ell+1}[$ pour tout $\ell \in \{1, 2, \ldots, n-1\}$, et dans $]\lambda_n, +\infty[$. (c) On note $\mu_1 \leqslant \mu_2 \leqslant \cdots \leqslant \mu_n$ les valeurs propres de $B$. Montrer que $$\lambda_1 < \mu_1 < \lambda_2 < \mu_2 < \cdots < \lambda_n < \mu_n.$$ QUATRIÈME PARTIE Dans cette quatrième partie, $A \in S_n(\mathbb{R})$ est une matrice symétrique dont les valeurs propres sont notées $\lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$. Pour $x \in \mathbb{R}$ on note $\chi_A(x) = \det(x\mathbb{I}_n - A)$. On considère une base orthonormée $(\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n)$ quelconque. Soit U une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ à valeurs dans l'ensemble fini $\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n\}$, et qui suit la loi uniforme sur cet ensemble. On note $\mathbb{P}(A)$ la probabilité d'un événement $A \in \mathcal{A}$ et $\mathbb{E}[X]$ l'espérance d'une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ à valeurs réelles. cpge-paradise.com 4 On considère la variable aléatoire $B$, à valeurs dans $S_n(\mathbb{R})$, définie par $$B = A + \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on note $\chi_B(x) = \det(x\mathbb{I}_n - B)$, qui est une variable aléatoire à valeurs réelles. 20. Montrer que pour tout $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, on a $\mathbb{E} \left[ \langle \mathbf{U}, \mathbf{w} \rangle^2 \right] = \frac{1}{n} \|\mathbf{w}\|^2$. 21. Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}$. Montrer que la variable aléatoire $\chi_B(x)$ a une espérance finie, et que, en notant $\chi'_A$ la dérivée du polynôme $\chi_A$, on a $$\mathbb{E} \left[ \chi_B(x) \right] = \chi_A(x) - \frac{1}{n} \chi'_A(x).$$ 22. Montrer que pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$, on a $$\mathbb{E} \left[ \chi_B(\lambda_k) \right] = -\frac{1}{n} \chi'_A(\lambda_k).$$ 23. Démontrer qu'il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $\mathbb{E} \left[ \chi_B(x) \right] \neq 0$. CINQUIÈME PARTIE Comme dans la troisième partie, on suppose que $$B = A + \mathbf{u}\mathbf{u}^T$$ avec $A \in S_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique, et $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$ un vecteur tel que $\|\mathbf{u}\| = 1$. On note $\lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ et $\mu_1 \leqslant \mu_2 \leqslant \cdots \leqslant \mu_n$ celles de $B$. On admet que $$\lambda_1 \leqslant \mu_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \mu_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n \leqslant \mu_n.$$ On suppose de plus qu'il existe un entier $m \in \{1, 2, \ldots, n-1\}$ tel que les valeurs propres de $A$ vérifient $$0 = \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_m < \lambda_{m+1} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n.$$ Soit $\varepsilon \in ]0, \lambda_{m+1}[$. 24. Justifier que $(A - \varepsilon\mathbb{I}_n)$ est inversible. On suppose dans la suite que $\langle \mathbf{u}, (A - \varepsilon\mathbb{I}_n)^{-1}\mathbf{u} \rangle < -1$. 25. Montrer que $(B - \varepsilon\mathbb{I}_n)$ est inversible. 26. Montrer que $\mathrm{Tr} \left( (B - \varepsilon\mathbb{I}_n)^{-1} \right) > \mathrm{Tr} \left( (A - \varepsilon\mathbb{I}_n)^{-1} \right)$. 27. Montrer que $\mu_m > \varepsilon$.