ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES CONCOURS D'ADMISSION 2022 MERCREDI 27 AVRIL 2022 08h00 - 12h00 FILIERE PC - Epreuve n° 5 PHYSIQUE B (XEULS) Durée : 4 heures L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve cpge-paradise.com -- 1 of 11 -- - Étude de l'hélium superfluide métastable Introduction Dans ce sujet, nous nous intéressons à l'hélium -l (ou 4 m ) à basse température, que nous ap-- pellerons simplement hélium par la suite. La première partie permet d'aborder les propriétés sin- gulières de l'hélium liquide à basse température. L'hélium liquide peut être préparé dans des états dits "métastables" : la description de ces états fera l'objet de la seconde partie. Enfin, la troisième Parti e traite de l'étude expérimentale de l'hélium métastable par deux techniques : la mesure de la masse volumique par interférométrie et la mesure de la "fréquence Brillouin" par diffusion Brillouin. Ces deux mesures permettent de remonter à l'équation d'état de l'hélium métastable. Ces trois part ies ainsi que les sous-parties 3.1 et 3.2, sont dans une large mesure indépendantes. ' Indications On donne ij5Q::: 3, 5. Constantes fondamentales • célérité de la lumière dans le vide : c::: 3 x 108 m.s- 1 • permittivité diélectrique du vide : €o::: 9 x 10- 12 F.m- 1 • constante de Planck : h ::: 7 x 10- 34 J .s • constante de Planck réduite : 1i = h/21r ::: 1 x 10- 34 J .s • constante de Boltzmann : k 8 ::: 1, 4 x 10- 23 J.K- 1 Notations et grandeurs liées à l'hélium liquide • masse atomique : mtt. ::: 7 x 10- 27 kg • polarisabilité atomique : a • pression de vapeur saturante (coexistence liquide-gaz) : Psat • vitesse du son à T::: 1 K : v::: 200 m.s- 1 • indice optique : n ::: 1 cpge-paradise.com -- 2 of 11 -- 1 L'hélium liquide à basse température Lorsque de l'hélium est refroidi en suivant la courbe de coexistence gaz-liquide on b 1 · 'd d 't' th • . , , o serve une évo ut10n ra~ e e sa capac1 e erm1que massique a pression constante autour d I t , . . e a emperature 2, l'l' K v 01r F1g .l(a)). 15 (a) 145 (b) Q' -140 'ci 10 "' 1135 g ,J 5 Cl. 130 0 1 2 3 4 T(K) 2 T(K) 3 4 FIGURE 1 - (a) Évolution de la capacité thermique massique à pression constante Cp de l'hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température T. (b) Évolution de la masse volumique p de l'hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température T . \ L On refroidit une masse m d'hélium liquide à pression constante de ~ à. (I'= J"it avec une puissance de refroidissement , ITl:onstante au cours u temps. Par application du premier principe, exprimer dT/dt en fon ction ~ nnées du problèm:,/4onner l'allure de l'évolution temporelle de la température de l'hélium à partir de la courbe ep(T). Cette évolution rapide de ep(T) est due à une transition de phase à la température T>. (appelée "transition ,\'' à cause de la forme du pic de Cp proche de T>.) d'une phase liquide I vers une phase liquide II, que l'on appelle aussi phase liquide "superfluide". C'est une transition de phase sans chaleur latente, et à laquelle il n'y a pas de discontinuité de la masse volumique (voir Fig.l(b)). Le diagramme d'état (p , T) de l'hélium est représenté en Fig.2. 2. -~onner le diagramme _de phase (p, T_) ~ique d'~ corps, pur en équilibre. ~omparer avec celui de l'hehum. Que se passe-t-Ii lors du refr01d1ssement d un systeme le long de sa ligne de coexistence avec la phase gazeuse? Que se passe-t-il pour l'hélium? L'hélium superfluide (i.e. en phase liquide II) a des propriétés très différentes de celles de la phase liquide I. En particulier, sa viscosité est extrêmement faible, au moins 106 fois plus faible que celle de la phase liquide I, et l'hélium superfluide peut s'écouler très facilement à travers un milieux poreux. On considère ainsi que l'écoulement de l'hélium est .~ \J 3. Donner brièvement quelques caractéristiques d'un écoulement parfait. 4. Les propriétés surprenantes de l'hélium superfluide sont une manifestation directe d'effets quan- tiques. À partir des données fournies dans l'énoncé, donner la distance interatomique typique a de l'hélium en ph~ e superfluide. Déterminer la longueur d'onde de de Broglie, notée A, en fonction de kB, h, Tet mtte en ~upposant que l'énergie cinétique Ec est de l'ordre de 3kBT, Donner la dépendance de la longueur d'onde de de Broglie en T . On considère que le fluide est quantique lorsque A~ a. Donner 2 -cpge-paradise.com -- 3 of 11 -- p (Pa) 107 Solide 106 Helium-1 (C) 105 Helium-II 104 103 Gaz 102 101 0 2 3 4 5 6 T (K) FIGURE 2 - Diagramme d'état de l'hélium. Le point (C) est le point critique. L'hélium-II est all.S.5i appelé hélium superfluide. un ordre de grandeur de la température à laquelle les effets quantiques apparaissent et commenter ce résultat. 2 États métastables de l'hélium liquide L'hélium liquide à basse température, outre ses propriétés superfluides, a la caractéristique de pouvoir être obtenu avec une remarquable pureté. En effet, à quelques degrés Kelvin, toute impureté éventuellement présente dans le liquide est gelée sur les parois ou sédimente au fond du contenant. On peut ainsi, par filtrage, obtenir un liquide extrêmement pur. Cela offre la possibilité d 'étudier les états "métastables" de l'hélium liquide. C'est ce que nous allons étudier dans cette partie. 2.1 Métastabilité et cavitation On prend de l'hélium liquide à la température Tet à la pression p = Psat • Lorsque ~ , l' état thermodynamique le plus stable est la ~ azeu'sl: Cependant, il peut y avoir un retard au changement d'état, et l'hélium peut rester liquide bien que p soit inférieure à Psat • Dans un tel cas, l'hélium est alors dit ~ tastabl• ' . La rupture de l'état métastable, c'est-à-dire la transition 1/.l@~s'app! Jle~ ••cavmafüon • . Pour comprendre la métastabilité, on peut considérer la situation suivante. Supposons que de l'hélium liquide soit à une pression p inférieure à Psat (hélium métastable). L'énergie que l'on doit apporter au système pour créer la première bulle de gaz, de rayon r, est donnée par (1) Le premier terme, négatif, correspond au fait qu' il est énergétiquement favorable de créer une bulle de 3 cpge-paradise.com -- 4 of 11 -- gaz dans Je milieu. Le second terme fait intervenir le coefficient de tension superficielle I à l'interface liquide-gaz. J 5. Quelle est l'interprétation physique du second terme qui apparaît dans l'expression de !),_E? Tracer l'allure de !),_E en fonction de r à p fixée. Mettre en évidence une valeur de r, notée rc, qui rend !),_E maximale ( on note !),_E* le maximum de !),_E). On donnera les expressions de r c et de !),_E*. Quelle énergie faut-il fournir pour qu'il y ait rupture de l'état métastable ( i.e. cavitation)? J 6. Soit r la probabilité de cavitation par unité de volume et par unité de temps à T. Proposer une expression der en fonction de !),_E*, de kaT et d'une constante rode même dimension que r. 7. La présence d' impureté a pour effet de diminuer /),_E*. Pourquoi l' hélium liquide à basse température est-il intéressant pour l'étude des états métastables de la matière condensée? / 8. On crée un état métastable de volume V. On note E(t) la probabilité que la cavitation ait eu \l ieu entre les instants O et t. E(t + dt) - E(t) correspond ainsi à la probabilité qu'il y ait cavitation entre un temps t et un temps t + dt. Exprimer E(t + dt) - E(t) en fonction de r , V et E(t) et en déduire une équation différentielle sur E(t). En déduire l'expression de E(t) . 9. On définit la pression de cavitation Pc telle que la probabilité de cavitation E(T) définie au bout d' un temps Test égale à½ : donner son expression en fonction de 1 , ka, T, r 0 , V et T. Que se passe-t-il quand T 0? Commenter le signe de Pc à basse température. Comment doit-on choisir V et T pour maximiser IPcl (avec Pc < 0)? 2.2 Pression négative Il est possible d'étudier l'hélium liquide à des pressions p inférieures à sa pression de vapeur saturante Psat· Les états métastables de l'hélium sont si robustes que l' on peut même atteindre des pressions négatives (des valeurs de -p de l'ordre de plusieurs bars peuvent être obtenues!). 10. Quelle est l'interprétation microscopique de la pression pour un gaz parfait? Peut-elle être négative pour un gaz parfait? Une pression négative ne peut être atteinte que dans des systèmes où il y a des interactions attractives entre les particules. Beaucoup de fluides peuvent être décrits par l'équation d ' état de van der Waals: (p+a~:) (V- Nb)= NkaT (2) où a et b sont deux constantes positives qui dépendent de la nature du fluide, N est le nombre de particules considéré et V le volume du fluide. 11. Pourquoi peut-on a_,voir p < 0 à basse température? Donner en fonction de a, b et ka la température T* en-dessous de laquelle la pression peut devenir négative. Les systèmes à pression négative ne sont pas de simples curiosités de laboratoire : il en existe Psat ? L'introduction du moindre appareil de mesure au niveau de la région métastable provoquerait sa rupture (c 'est-à-dire la cavitation de l'hélium). Il faut donc utiliser des méthodes d ' étude non perturbatives. Des méthodes de mesure optiques s'avèrent particulièrement adaptées. Dans la suite on s'intéresse à la mesure de masse volumique et à la mesure de la "fréquence Brillouin" au sein d~ l'onde acoustique. 3.1 Mesure de p par interférométrie On donne la relation de Clausius-Mossoti, valable dans l'hélium, qui relie l'indice optique n à la masse volumique p : n 2 -1 4ir œ ~=~p ? où a est un coefficient appelé "polarisabilité atomique" de l'hélium. On note lll!tla variation de masse volumique créée par le passage de l'onde sonore focalisée dans l'hélium,, et on note (~ .'.t! a variation d'indice optique associée. • (3) 14. Montrer que l' on a, dans le cas de l'hélium où n = 1 + € avec € 1 : 8n ôp n-1 = p 5 (4) cpge-paradise.com -- 6 of 11 -- 1-!X Émetteur piézoélectrique cellule FIGURE 4 - Schéma de l'interféromètre de Jamin . Il est possible de mesurer l'indice optique dans l' hélium en utilisant un interféromètre , comme celui de la Fig .4, appelé interféromètre de Jamin. L'interféromètre de Jamin est un dispositif qui repose sur l' utilisation de deux lames épaisses identiques d'épaisseur e et parallèles entre elles. La face arrière de chaque lame est un miroir parfait. Cet interféromètre est éclairé par une source laser de longueur d ' onde À, assimilée à une onde plane monochromatique. Le faisceau incident est divisé en deux faisceaux par la première lame. Les faisceaux sont envoyés dans une cellule contenant l' hélium (et elle-même est placée au sein d'un cryostat, non représenté sur la figure). Un des deux faisceaux traverse l'hélium liquide soumis à l'onde sonore (bras (1)), tandis que l' autre traverse l'hélium liquide au repos (bras (2)). Les faisceaux sont ensuite recombinés par la deuxième lame. J1s. L'interféromètre de Jamin est-il un interféromètre à division d ' amplitude ou de front d ' onde ? L'indice de l'air et l'indice de l'hélium sont supposés être égaux à l. L'indice des lames de verre est noté nv. On note 0; l'angle d'incidence des faisceaux sur les lames. 16. Montrer que la distance d séparant les bras (1) et (2) de l'interféromètre est donnée par : sin20; d = e-,,=;,=====;;=c;;= Jn~ - sin2 0; (5) ·· f 17. Quel déphasage (0;) chaque lame de Jamin induit-elle entre les faisceaux? Quel est le )léphasage ocf> entre les deux faisceaux en sortie de l'interféromètre et en l'absence d ' onde sonore? Mnonner la variation du déphasage induit par le non-parallélisme des lames (écart angulaire 80 ent~s lames). On fera apparaître d dans l'expression obtenue. On crée une onde sonore dans l'hélium . Seul le faisceau (1) est affecté par la présence de l'onde sonore. On suppose que l'onde sonore créée a une symétrie radiale autour de l'axe Oz (voir Fig .5), et on note n(r, z) = 1 + on(r, z) l'indice optique de l'hélium en P:~ence de l' onde so~o~e (n ';'. 1 _au repos). On suppose que la propagation du faisceau (1) reste rectiligne et que les vanat10ns d md1ce on(r, z) sont nulles pour r > R . 6 cpge-paradise.com -- 7 of 11 -- X -A(x,z) .. ·······- .... A{x,z} . y . lumière laser ... \··· . . . . .......... __ ___ .... .. .... . Champ acoustique FIGURE 5 - La phase mesurée li(x , z) à z fixé en sortie de l' interféromètre résulte_ de l'_int_ég_ration des déphasages optiques le long du trajet du faisceau dans la cellule. Le cercle en trait pomt1lle de rayon R délimite le champ acoustique de l'onde sonore créée par l'émetteur piézoélectrique. V 19. Exprimer la différence de phase li( x, z) entre les deux faisceaux de l' interféromètre en faisant apparaître une intégrale sur lin(r, z) le long du chemin optique . Étant donnée la symétrie radiale du problème, la mesure de li(x, z) pour tout z permet de remonter à la variation d 'indice optique lin(r, z) grâce à une opération mathématique appelée " transformation d'Abel ". On remonte ensuite à lip , et donc à p, par l' équation (4). 3.2 Mesure de la fréquence Brillouin Une autre méthode pour étudi er les états métastables est l' étude de la diffusion Brillouin . Expérimentalement , on fo calise un faisceau laser, de longueur d ' onde ~, au niveau du foyer de l' onde sonore créée dans l'hélium par l' émetteur piézoélectrique (voir Fig.6) . La demi-ouverture angulaire du faisceau est ~ !S'îlQ.U, ::a, laser ,, 1 Il -.: ~ ÔX Il FIGURE 6 - Un laser est focalisé au niveau de la région métastabl e qui correspond au foyer de l'onde acoustique créée par l'émetteur piézoélectrique. 7 cpge-paradise.com -- 8 of 11 -- 20. a) En supposant que les faisce aux sont gaussiens, donner le rayon typique minimal Wmin des fais- ceaux au niveau du point de focalisation. Ce rayon typique correspond à la résolution spat iale de l'expérience. La résolution spatiale minimale est-elle suffisante pour étudier la région métastable? b) On prend un faisceau gaussien de rayon minimal w = 3wmin· Que vaut la longueur de Rayleigh du faisceau? Comment peut-on alors décrire le faisceau au niveau de la région métastable? De manière générale , lors de sa propagation dans un milieu uniforme, une fraction (très faible) de la lumière peut être diffusée par des fluctuation s "spontanées" de densité qui se propagent dans le milieu . Dans l'expérience considérée ici on s'intéresse à la diffusion du laser par des fluctuations de densité qui se propagent à l'intérieur de la région métastable. Ces fluctuations sont d ' origine thermique et ne doivent pas être confondues avec le champ acoustique produit par l' émetteur piézoélectrique pour créer la région métastable. Le faisceau diffusé par ces fluctuations est décalé en fréquence (.-, ~ ,-). La mesure de ce décalage pe rmet de remonter à la vitesse du son au sein de la région métastable . Pour étudier ce phénomè ne , on considère que les faisce aux laser sont constitués de photons , d 'im- pulsion k1 et de pulsation w 1 (respectivement k 2 et w 2 ) pour le faisce au incident (resp. diffusé). On assimile également une fluctuation de densité dans la région métastable à une quasi-particule (appelée "phonon" ) de vecteur d ' ond e .(et d 'impulsion frqt) et de pulsation tD (et d 'énergie fM. On peut voir la diffusion de la lumière par la fluctuation de densité, c'est-à-dire la diffusion d ' un photon par un phonon, comme la collision: photon 1 + phonon photon 2 (avec l' annihilation du phonon). 21. a) Donner les relations de dispersion pour la lumière et le-son dans l'hélium liquide (c' est-à-dire la relation e ntre \ki\ et w, (i = 1, 2) d 'une part, et lw\ et !:1B d ' autre part). b) Écrire les équations de conservation de l'impulsion et de l'énergie lors de cette collision. c) On note /J l'angle entre les vecteurs k1 et k2, aussi appelé angle de diffusion. On fait l' hypothèse: fla<< w1,w2. Dans le cadre de cette approximation, montrer que !:1B = 2w~ sin(/J/2) C (6) avec w "'w1 ::; w2. Donner la valeur de fB = !:1B/21r pour un angle de diffusion IJ c,e 1r /2. Discuter la validité de l'hypothèse utilisée. La fraction de lumière diffusée est très faible, surtout dans un liquide à quelques Kelvin où les fluc- tuations thermiques (à l'origine du processus de diffusion) sont quasiment inexistantes. Cependant on peut "stimuler" la diffusion en focalisant un deuxième laser dans le milieu. Son interférence avec le premier laser va créer une force volumique qui s'exerce sur le fluide. Cette force renforce les fluctua- tions de densité, et renforce ainsi le processus de diffusion. Pour le comprendre, on utilise une autre approche : on étudie la diffusion à partir des équatio~s classiques d ' évolution de la masse volumique et des champs électriques. On donne l' équation de pro- pagation des ondes acoustiques dans un fluide de masse volumique p(r, t) en présence d ' une force v.o~Jllt en présence d ' atténuation : ~ êPp , op 2 • - --rti. --v fl.p=d1 v / ât 2 ât 1 où r' est un paramètre d ' amortissement positif et où fi. désigne l'opérateur laplacien. 8 (7) cpge-paradise.com -- 9 of 11 -- - 1 O considère la propagation d ·une onde p l,,. 1 ll' On néglige to ut e force volumique J po ur e moment . n . d mille. monochromatique. On rit a ms1 p r , = Po 1 , . éc · · · (- t) + p (r t) avec Po la masse volllllll qu e u u au r., 1 ,.,.. et Pl r , - e e, r, avec e1 r, _ _ ( - t) _ R [ (- t)] ( - t) = /Jpe•!Oo •- a • ,'J où 6p est une amplitude complexe (constant,, et Q et n 8 so nt les vecteur d 'oncle et pulsation de l' onde sono.re. J 22. Donner la relat ion de d ispersion cleti on. dl!II so nor l!!J dans le mi~et1:_?n oote Q : IQj. 01?,,·e!op p, -r l' ex pr ession de Q au pr em ier ordr e en f' et le me ttr e sous la forme Q - a ib avec a et deux CO!l!it.arn,_~ rée ll es. Un Buide so umis à un c hamp él ectrique Ë statique s ubit une pr ession (appelée "'Pr-ion 51.ni:t n-r: - , donnée par : Pat= -½fo'YeE 2 où E = IËI et où "le est une constante J)Olliti\·e sans dimension.. J 23. Commenter le signe de Pot : comment le milieu réagit à un champ électrique ? 0o'1Jner· la Corn- volumique rés ultant de ce tt e pression. Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement . de champ électrique È 1 (z , t) = Relli,(z , t)] avec Ë,( z,t) = Ë, ,o(z)e• (w, t- k,: J (où l ,.o (z ) est ttne &npl.i u,d,, complexe qui ne dépend pas du temps) , se propage dans le ftuide dans la direct.ion z. La pulsat ion d';- cette onde correspond au domaine visible. De même que pr écéde mment , une force strict ive esi associé,, au passage de l' onde , mais la pression strictive est ce tt e foi s donnée en r em plaçant E'2 par sa moyenn ,- temporelle < È · È > sur un temps r tel que r » 2,r /w 1 • J24. Exprim er la pression strictive dans un tel cas. On considère la propagation d 'une deuxième onde électromagnétique plane progressfre rncno- chromatique polarisée linéaireme nt , se propageant en sens opposé, de champ électrique Ë 2 ( : . t ) = Relli2(z , t)] avec Ê2(z , t) = Ê 2,0 (z)ei(w,t+k,,J (où t,2,0 (z) est une amplitude co mplexe qui ne dé pen <[ pas du temps) . Le champ È2( z, t) oscille à une pulsation proche de celle de Ë 1 ( z:. I } : en J)Otlrull W1 = W2 + 0 On a clone 101 « W2. " f 25. Que vaut la moyenne temporelle du carré du champ élect rique total < Ë . Ë > en ronnio n de "i et de t? On moyenne, autour de t, s ur un temps r tel que r 21r / O et r » 21r / e.,'l . En déduire ln force strictive associée. On not e ra q = k1 + k 2. , f E ' 1· 1 fJ.t,i,O ( . l 2) cl 1 - '\l 26. n n eg 1geant es te rm es en a;- avec • = . evaut es te nues en qf;_. _ 0 • uiootrer que le terme de forç age de l'é quation (7) est clonué par div/ = - ~to;- 0 q 1 Re[t_ 1 , 0 .g; _ 0 e ;